Номер 5.5, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.5. Решите неравенство:

1) $(x + 2)(x^2 - 1) > 0;$

2) $(x^2 - 4x + 3)(x^2 + 3x + 2) \ge 0;$

3) $4x^3 - 25x < 0;$

4) $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 9} > 0;$

5) $\frac{x^2 - 3x}{x^2 - 8x + 7} \le 0;$

6) $\frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 3x - 4} \ge 0.$

1) $(x + 2)(x^2 - 1) > 0$

Разложим на множители выражение в левой части неравенства, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x + 2)(x - 1)(x + 1) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $(x + 2)(x - 1)(x + 1) = 0$. Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$, $x_3 = 1$.

Отметим эти корни на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала. Определим знак выражения в каждом интервале.

- При $x > 1$ (например, $x=2$): $(2+2)(2-1)(2+1) = 4 \cdot 1 \cdot 3 = 12 > 0$. Знак "+".
- При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $(0+2)(0-1)(0+1) = 2 \cdot (-1) \cdot 1 = -2 < 0$. Знак "-".
- При $-2 < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $(-1.5+2)(-1.5-1)(-1.5+1) = 0.5 \cdot (-2.5) \cdot (-0.5) > 0$. Знак "+".
- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3+2)(-3-1)(-3+1) = (-1) \cdot (-4) \cdot (-2) = -8 < 0$. Знак "-".

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (-2; -1) \cup (1; +\infty)$.

2) $(x^2 - 4x + 3)(x^2 + 3x + 2) \ge 0$

Разложим на множители каждый квадратный трехчлен.

Для $x^2 - 4x + 3 = 0$: по теореме Виета корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Тогда $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

Для $x^2 + 3x + 2 = 0$: по теореме Виета корни $x_1 = -1$, $x_2 = -2$. Тогда $x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$.

Неравенство принимает вид:

$(x - 1)(x - 3)(x + 1)(x + 2) \ge 0$

Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$, $x_3 = 1$, $x_4 = 3$. Так как неравенство нестрогое, все корни включаются в решение.

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах.

- $(-\infty; -2]$: знак "+"
- $[-2; -1]$: знак "- "
- $[-1; 1]$: знак "+"
- $[1; 3]$: знак "- "
- $[3; +\infty)$: знак "+"

Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю (знак "+").

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [-1; 1] \cup [3; +\infty)$.

3) $4x^3 - 25x < 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4x^2 - 25) < 0$

Применим формулу разности квадратов:

$x(2x - 5)(2x + 5) < 0$

Найдем корни уравнения $x(2x - 5)(2x + 5) = 0$. Корни: $x_1 = -2.5$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2.5$.

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах.

- $(-\infty; -2.5)$: знак "- "
- $(-2.5; 0)$: знак "+"
- $(0; 2.5)$: знак "- "
- $(2.5; +\infty)$: знак "+"

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Ответ: $x \in (-\infty; -2.5) \cup (0; 2.5)$.

4) $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 9} > 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 3)(x + 3)} > 0$

Найдем нули числителя: $x = 2$, $x = -2$.

Найдем нули знаменателя (точки разрыва): $x = 3$, $x = -3$. Эти точки не входят в решение.

Отметим все точки на числовой прямой: -3, -2, 2, 3. Определим знаки на интервалах.

- $(-\infty; -3)$: знак "+"
- $(-3; -2)$: знак "- "
- $(-2; 2)$: знак "+"
- $(2; 3)$: знак "- "
- $(3; +\infty)$: знак "+"

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-2; 2) \cup (3; +\infty)$.

5) $\frac{x^2 - 3x}{x^2 - 8x + 7} \le 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $x^2 - 3x = x(x - 3)$.

Знаменатель: $x^2 - 8x + 7$. Корни уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$ по теореме Виета $x_1 = 1$, $x_2 = 7$. Тогда $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{x(x - 3)}{(x - 1)(x - 7)} \le 0$

Нули числителя (включаются в решение): $x=0$, $x=3$.

Нули знаменателя (не включаются в решение): $x=1$, $x=7$.

Отметим точки на числовой прямой: 0, 1, 3, 7. Определим знаки на интервалах.

- $(-\infty; 0]$: знак "+"
- $[0; 1)$: знак "- "
- $(1; 3]$: знак "+"
- $[3; 7)$: знак "- "
- $(7; +\infty)$: знак "+"

Нам нужны промежутки, где выражение меньше или равно нулю (знак "-").

Ответ: $x \in [0; 1) \cup [3; 7)$.

6) $\frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 3x - 4} \ge 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $2x^2 - 5x + 2$. Решим уравнение $2x^2 - 5x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$. $x_1 = 2$, $x_2 = 0.5$.
Тогда $2x^2 - 5x + 2 = 2(x - 0.5)(x - 2) = (2x-1)(x-2)$.

Знаменатель: $x^2 - 3x - 4$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ по теореме Виета $x_1 = 4$, $x_2 = -1$. Тогда $x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(2x - 1)(x - 2)}{(x - 4)(x + 1)} \ge 0$

Нули числителя (включаются в решение): $x=0.5$, $x=2$.

Нули знаменателя (не включаются в решение): $x=-1$, $x=4$.

Отметим точки на числовой прямой: -1, 0.5, 2, 4. Определим знаки на интервалах.

- $(-\infty; -1)$: знак "+"
- $(-1; 0.5]$: знак "- "
- $[0.5; 2]$: знак "+"
- $[2; 4)$: знак "- "
- $(4; +\infty)$: знак "+"

Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю (знак "+").

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup [0.5; 2] \cup (4; +\infty)$.