Страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.16. Решите неравенство:

1) $(3 - x)^3(x + 2)^2(x - 1)(2x - 5) < 0;$

2) $(x^2 - 4)(x^2 + x - 2) \le 0;$

3) $(x^3 - 4x)(x^2 + 2x - 8)(x^2 + 7x + 10) \le 0.$

1) Решим неравенство $(3 - x)^3(x + 2)^2(x - 1)(2x - 5) < 0$.

Для удобства приведем множитель $(3-x)$ к стандартному виду $(x-a)$.
$(3 - x)^3 = (-(x - 3))^3 = (-1)^3(x - 3)^3 = -(x - 3)^3$.
Неравенство принимает вид:
$-(x - 3)^3(x + 2)^2(x - 1)(2x - 5) < 0$.
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$(x - 3)^3(x + 2)^2(x - 1)(2x - 5) > 0$.
Теперь решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части, приравняв каждый множитель к нулю:
$x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$ (корень кратности 3, нечетной);
$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$ (корень кратности 2, четной);
$x - 1 = 0 \implies x_3 = 1$ (корень кратности 1, нечетной);
$2x - 5 = 0 \implies x_4 = 2.5$ (корень кратности 1, нечетной).
Отметим эти корни на числовой оси. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

Определим знак на крайнем правом интервале (при $x > 3$, например $x = 4$): $(+)(+)(+)(+) > 0$. Знак «+».
Двигаясь справа налево, меняем знак при переходе через корень нечетной кратности и сохраняем знак при переходе через корень четной кратности.
- Интервал $(3, +\infty)$: +
- Переход через $x=3$ (нечетная кратность): знак меняется. Интервал $(2.5, 3)$: -
- Переход через $x=2.5$ (нечетная кратность): знак меняется. Интервал $(1, 2.5)$: +
- Переход через $x=1$ (нечетная кратность): знак меняется. Интервал $(-2, 1)$: -
- Переход через $x=-2$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(-\infty, -2)$: -
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»). Это $(1, 2.5)$ и $(3, +\infty)$.
Ответ: $x \in (1; 2.5) \cup (3; +\infty)$.

2) Решим неравенство $(x^2 - 4)(x^2 + x - 2) \le 0$.

Разложим каждый квадратный трехчлен на множители.
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ (формула разности квадратов).
Для $x^2 + x - 2$, найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Тогда $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x - (-2)) = (x - 1)(x + 2)$.
Подставим разложения в исходное неравенство:
$(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 2) \le 0$.
Сгруппируем множители:
$(x - 2)(x - 1)(x + 2)^2 \le 0$.
Найдем корни левой части:
$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$ (корень кратности 1, нечетной);
$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$ (корень кратности 1, нечетной);
$x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$ (корень кратности 2, четной).
Неравенство нестрогое, поэтому все корни включаются в решение. Отметим их на числовой оси закрашенными точками.

Определим знаки на интервалах. При $x > 2$ (например $x=3$), выражение $(+)(+)(+) > 0$. Знак «+».
- Интервал $(2, +\infty)$: +
- Переход через $x=2$ (нечетная кратность): знак меняется. Интервал $(1, 2)$: -
- Переход через $x=1$ (нечетная кратность): знак меняется. Интервал $(-2, 1)$: +
- Переход через $x=-2$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(-\infty, -2)$: +
Нам нужны промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал $[1, 2]$. Также, поскольку неравенство нестрогое, нужно включить корень $x=-2$, в котором выражение равно нулю.
Ответ: $x \in \{-2\} \cup [1; 2]$.

3) Решим неравенство $(x^3 - 4x)(x^2 + 2x - 8)(x^2 + 7x + 10) \le 0$.

Разложим на множители каждый сомножитель.
$x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$.
$x^2 + 2x - 8 = 0$. Корни по теореме Виета: $x_1 = 2, x_2 = -4$. Значит, $x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)$.
$x^2 + 7x + 10 = 0$. Корни по теореме Виета: $x_1 = -2, x_2 = -5$. Значит, $x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)$.
Подставим разложения в неравенство:
$x(x - 2)(x + 2)(x - 2)(x + 4)(x + 2)(x + 5) \le 0$.
Сгруппируем и упорядочим множители:
$(x + 5)(x + 4)x(x + 2)^2(x - 2)^2 \le 0$.
Найдем корни: $x = -5, x = -4, x = 0$ (все нечетной кратности 1), $x = -2, x = 2$ (оба четной кратности 2).
Неравенство нестрогое, все корни включаем в решение.

Определим знаки. При $x > 2$ (например $x=3$), выражение $(+)(+)(+)(+)(+) > 0$. Знак «+».
- Интервал $(2, +\infty)$: +
- Переход через $x=2$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(0, 2)$: +
- Переход через $x=0$ (нечетная кратность): знак меняется. Интервал $(-2, 0)$: -
- Переход через $x=-2$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(-4, -2)$: -
- Переход через $x=-4$ (нечетная кратность): знак меняется. Интервал $(-5, -4)$: +
- Переход через $x=-5$ (нечетная кратность): знак меняется. Интервал $(-\infty, -5)$: -
Выбираем промежутки со знаком «-» и добавляем все корни, так как неравенство нестрогое. Промежутки: $(-\infty, -5]$ и $[-4, 0]$.
Также в решении будут изолированные точки, в которых выражение равно нулю, но которые не вошли в отрицательные интервалы. Это корень $x=2$. Корень $x=-2$ уже включен в отрезок $[-4, 0]$.
Объединяя все, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -5] \cup [-4; 0] \cup \{2\}$.

5.17. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x^3 (x - 1)^4 (x + 5)}{(x - 8)(1 - 4x)} > 0;$

2) $\frac{(x - 2)(2x + 1)^3}{(3 - x)^4 (1 - 5x)^5} > 0;$

3) $\frac{(x - 3)(5x + 2)(x + 3)}{(x - 1)(x + 4)^2} \ge 0;$

4) $\frac{x^5 |3x - 1|(x + 3)}{x - 2} \le 0;$

5) $\frac{(2 - x)(4x + 3)}{(x - 3)^3 (x + 1)^2} \le 0;$

6) $\frac{(x + 6)^3 (x + 4)(6 - x)^5}{|x + 5|} \ge 0.$

1) Решим неравенство $\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)} > 0$ методом интервалов.

Сначала найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $x^3=0 \Rightarrow x=0$ (корень нечетной кратности 3), $(x-1)^4=0 \Rightarrow x=1$ (корень четной кратности 4), $x+5=0 \Rightarrow x=-5$ (корень нечетной кратности 1).
Нули знаменателя: $x-8=0 \Rightarrow x=8$ (корень нечетной кратности 1), $1-4x=0 \Rightarrow x=1/4$ (корень нечетной кратности 1).

Приведем неравенство к стандартному виду, чтобы все множители были вида $(x-a)$. Множитель $(1-4x)$ запишем как $-(4x-1) = -4(x-1/4)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(-4(x-1/4))} > 0$.
Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства: $\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(x-1/4)} < 0$.

Отметим на числовой оси все найденные точки: -5, 0, 1/4, 1, 8.
Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(8, \infty)$. Возьмем $x=10$: $\frac{10^3(9)^4(15)}{(2)(9.75)} > 0$.
Двигаясь справа налево, меняем знак при переходе через корень нечетной кратности и сохраняем знак при переходе через корень четной кратности.
Точки с нечетной кратностью: -5, 0, 1/4, 8.
Точка с четной кратностью: 1.

Знаки на интервалах для $\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(x-1/4)}$:
$(-\infty, -5)$: -; $(-5, 0)$: +; $(0, 1/4)$: -; $(1/4, 1)$: +; $(1, 8)$: +; $(8, \infty)$: -.
Хм, я ошибся в расчетах выше. Давайте перепроверим знак в $(8, \infty)$ для исходного выражения. $f(x) = \frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)}$. При $x=10$, $f(10) = \frac{(+)(+)(+)}{(+)(-)} < 0$.
Знаки для исходного выражения:
$(-\infty, -5)$: -; $(-5, 0)$: +; $(0, 1/4)$: -; $(1/4, 1)$: +; $(1, 8)$: +; $(8, \infty)$: -.

Нам нужно найти, где $\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)} > 0$. Это интервалы $(-5, 0)$ и $(1/4, 8)$. Точка $x=1$ является нулем числителя, поэтому она не входит в решение, так как неравенство строгое.
Ответ: $x \in (-5, 0) \cup (1/4, 1) \cup (1, 8)$.

2) Решим неравенство $\frac{(x-2)(2x+1)^3}{(3-x)^4(1-5x)^5} > 0$.

Нули числителя: $x-2=0 \Rightarrow x=2$ (нечетная кратность), $2x+1=0 \Rightarrow x=-1/2$ (нечетная кратность).
Нули знаменателя: $3-x=0 \Rightarrow x=3$ (четная кратность), $1-5x=0 \Rightarrow x=1/5$ (нечетная кратность).

Приведем к стандартному виду: $(3-x)^4 = (-(x-3))^4 = (x-3)^4$; $(1-5x)^5 = (-(5x-1))^5 = -(5x-1)^5$.
Неравенство: $\frac{(x-2)(2x+1)^3}{(x-3)^4(-(5x-1)^5)} > 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{(x-2)(2(x+1/2))^3}{(x-3)^4(5(x-1/5))^5} < 0$.
Константы $2^3$ и $5^5$ положительны и не влияют на знак, поэтому решаем $\frac{(x-2)(x+1/2)^3}{(x-3)^4(x-1/5)^5} < 0$.

Точки на оси: -1/2, 1/5, 2, 3.
Кратность корней: $x=2$ (1, нечет), $x=-1/2$ (3, нечет), $x=3$ (4, чет), $x=1/5$ (5, нечет).
Знак в крайнем правом интервале $(3, \infty)$: для $x=4$ выражение $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -1/2)$: -; $(-1/2, 1/5)$: +; $(1/5, 2)$: -; $(2, 3)$: +; $(3, \infty)$: +.

Нам нужно, чтобы выражение было меньше 0.
Ответ: $x \in (-\infty, -1/2) \cup (1/5, 2)$.

3) Решим неравенство $\frac{(x-3)(5x+2)(x+3)}{(x-1)(x+4)^2} \ge 0$.

Нули числителя: $x=3$, $x=-2/5$, $x=-3$.
Нули знаменателя: $x=1$, $x=-4$ (четная кратность 2).
Все множители, кроме $5x+2=5(x+2/5)$, приведены к стандартному виду. Неравенство эквивалентно $\frac{(x-3)(x+2/5)(x+3)}{(x-1)(x+4)^2} \ge 0$.

Точки на оси: -4, -3, -2/5, 1, 3.
Знак в крайнем правом интервале $(3, \infty)$: +.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -4)$: +; $(-4, -3)$: +; $(-3, -2/5)$: -; $(-2/5, 1)$: +; $(1, 3)$: -; $(3, \infty)$: +.

Неравенство нестрогое, поэтому включаем нули числителя: -3, -2/5, 3. Нули знаменателя всегда исключаются: -4, 1.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -3] \cup [-2/5, 1) \cup [3, \infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{x^5|3x-1|(x+3)}{x-2} \le 0$.

Область допустимых значений: $x \ne 2$.
Множитель $|3x-1| \ge 0$ при всех $x$.
Рассмотрим два случая:
1) $|3x-1| = 0 \Rightarrow 3x-1=0 \Rightarrow x=1/3$. При $x=1/3$ левая часть неравенства равна 0, что удовлетворяет условию $0 \le 0$. Значит, $x=1/3$ является решением.
2) $|3x-1| > 0 \Rightarrow x \ne 1/3$. Можно разделить обе части неравенства на положительное число $|3x-1|$ без изменения знака.
Получаем $\frac{x^5(x+3)}{x-2} \le 0$.

Решаем $\frac{x^5(x+3)}{x-2} \le 0$ методом интервалов.
Точки на оси: -3, 0, 2. Все корни нечетной кратности.
Знак в крайнем правом интервале $(2, \infty)$: +.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -3)$: -; $(-3, 0)$: +; $(0, 2)$: -; $(2, \infty)$: +.
Решение $\frac{x^5(x+3)}{x-2} \le 0$ есть $(-\infty, -3] \cup [0, 2)$.

Объединяя решение $x=1/3$ с полученным множеством, и учитывая, что $1/3 \in [0, 2)$, окончательное решение не меняется.
Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [0, 2)$.

5) Решим неравенство $\frac{(2-x)(4x+3)}{(x-3)^3(x+1)^2} \le 0$.

Нули числителя: $x=2$, $x=-3/4$.
Нули знаменателя: $x=3$ (нечетная кратность), $x=-1$ (четная кратность).
Приведем к стандартному виду: $2-x = -(x-2)$, $4x+3=4(x+3/4)$.
Неравенство: $\frac{-(x-2) \cdot 4(x+3/4)}{(x-3)^3(x+1)^2} \le 0$.
Разделим на -4 и сменим знак: $\frac{(x-2)(x+3/4)}{(x-3)^3(x+1)^2} \ge 0$.

Точки на оси: -1, -3/4, 2, 3.
Знак в крайнем правом интервале $(3, \infty)$: +.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -1)$: -; $(-1, -3/4)$: -; $(-3/4, 2)$: +; $(2, 3)$: -; $(3, \infty)$: +.

Неравенство $\ge 0$, поэтому включаем нули числителя ($x=2, x=-3/4$) и исключаем нули знаменателя ($x=3, x=-1$).
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, -3/4] \cup [2, 3)$.

6) Решим неравенство $\frac{(x+6)^3(x+4)(6-x)^5}{|x+5|} \ge 0$.

Знаменатель $|x+5|$ всегда положителен, кроме точки $x=-5$, где он равен нулю. Таким образом, ОДЗ: $x \ne -5$.
На ОДЗ можно умножить неравенство на $|x+5| > 0$, знак неравенства не изменится:
$(x+6)^3(x+4)(6-x)^5 \ge 0$.

Приведем множитель $(6-x)^5$ к стандартному виду: $(6-x)^5 = (-(x-6))^5 = -(x-6)^5$.
Неравенство принимает вид: $-(x+6)^3(x+4)(x-6)^5 \ge 0$.
Разделим на -1 и сменим знак: $(x+6)^3(x+4)(x-6)^5 \le 0$.

Решаем методом интервалов. Точки на оси: -6, -4, 6. Все корни нечетной кратности.
Знак в крайнем правом интервале $(6, \infty)$: +.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -6)$: -; $(-6, -4)$: +; $(-4, 6)$: -; $(6, \infty)$: +.

Нам нужно, чтобы выражение было $\le 0$.
Решение: $(-\infty, -6] \cup [-4, 6]$.
Учтем ОДЗ $x \ne -5$. Точка -5 не входит в полученные интервалы (так как $-5 > -6$ и $-5 < -4$), поэтому решение не меняется.
Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [-4, 6]$.

5.18. Решите неравенство:

1) $\frac{(x-1)(x-2)^2}{(x-3)^3} \le 0;$

2) $\frac{(x-1)^2(x+2)^3}{x-5} \ge 0;$

3) $\frac{x^2(x^2-1)}{x-4} > 0;$

4) $\frac{(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4}{x^5} \le 0.$

1) Решим неравенство $\frac{(x-1)(x-2)^2}{(x-3)^3} \le 0$.

Для решения используем метод интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $(x-1)(x-2)^2 = 0$, откуда $x=1$ и $x=2$. Эти точки могут быть решениями, так как неравенство нестрогое ($\le$).

Нули знаменателя: $(x-3)^3 = 0$, откуда $x=3$. Эта точка не может быть решением, так как деление на ноль недопустимо (точка выкалывается).

Отметим точки $1, 2, 3$ на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 3)$, $(3; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x=4$:

$\frac{(4-1)(4-2)^2}{(4-3)^3} = \frac{3 \cdot 2^2}{1^3} = 12 > 0$. Значит, на интервале $(3; +\infty)$ выражение положительно.

Далее, двигаясь справа налево, будем менять знак при переходе через точки, если соответствующий множитель стоит в нечетной степени, и не менять, если в четной.

• При переходе через точку $x=3$ (множитель $(x-3)^3$, степень 3 – нечетная), знак меняется с «+» на «−». На интервале $(2; 3)$ выражение отрицательно.
• При переходе через точку $x=2$ (множитель $(x-2)^2$, степень 2 – четная), знак не меняется. На интервале $(1; 2)$ выражение также отрицательно.
• При переходе через точку $x=1$ (множитель $(x-1)^1$, степень 1 – нечетная), знак меняется с «−» на «+». На интервале $(-\infty; 1)$ выражение положительно.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервалы, где стоит знак «−», а также нули числителя.

Выражение отрицательно на $(1; 2) \cup (2; 3)$.

Выражение равно нулю при $x=1$ и $x=2$.

Объединяя эти множества, получаем: $[1; 2] \cup (2; 3)$, что можно записать как $[1; 3)$.

Ответ: $x \in [1; 3)$.

2) Решим неравенство $\frac{(x-1)^2(x+2)^3}{x-5} \ge 0$.

Применяем метод интервалов. Находим нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $(x-1)^2(x+2)^3 = 0$, откуда $x=1$ и $x=-2$.

Нули знаменателя: $x-5=0$, откуда $x=5$.

Отмечаем точки $-2, 1, 5$ на числовой оси. Точки $-2$ и $1$ закрашенные, точка $5$ выколотая.

Определяем знаки на интервалах. Возьмем $x=6$:

$\frac{(6-1)^2(6+2)^3}{6-5} = \frac{5^2 \cdot 8^3}{1} > 0$. На $(5; +\infty)$ знак «+».

• При переходе через $x=5$ (множитель $(x-5)^1$, степень 1 – нечетная), знак меняется на «−». На $(1; 5)$ знак «−».
• При переходе через $x=1$ (множитель $(x-1)^2$, степень 2 – четная), знак не меняется. На $(-2; 1)$ знак «−».
• При переходе через $x=-2$ (множитель $(x+2)^3$, степень 3 – нечетная), знак меняется на «+». На $(-\infty; -2)$ знак «+».

Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком «+» и нули числителя.

Выражение положительно на $(-\infty; -2) \cup (5; +\infty)$.

Выражение равно нулю при $x=-2$ и $x=1$.

Объединяем: $(-\infty; -2] \cup (5; +\infty) \cup \{1\}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup \{1\} \cup (5; +\infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{x^2(x^2-1)}{x-4} > 0$.

Сначала разложим числитель на множители: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Неравенство принимает вид: $\frac{x^2(x-1)(x+1)}{x-4} > 0$.

Нули числителя: $x^2(x-1)(x+1)=0$, откуда $x=0$, $x=1$, $x=-1$.

Нули знаменателя: $x-4=0$, откуда $x=4$.

Так как неравенство строгое ($>$), все точки будут выколотыми.

Отмечаем точки $-1, 0, 1, 4$ на числовой оси. Определяем знаки. Возьмем $x=5$:

$\frac{5^2(5-1)(5+1)}{5-4} = \frac{25 \cdot 4 \cdot 6}{1} > 0$. На $(4; +\infty)$ знак «+».

• При переходе через $x=4$ (степень 1 – нечетная), знак меняется на «−». На $(1; 4)$ знак «−».
• При переходе через $x=1$ (степень 1 – нечетная), знак меняется на «+». На $(0; 1)$ знак «+».
• При переходе через $x=0$ (множитель $x^2$, степень 2 – четная), знак не меняется. На $(-1; 0)$ знак «+».
• При переходе через $x=-1$ (степень 1 – нечетная), знак меняется на «−». На $(-\infty; -1)$ знак «−».

Нам нужны значения $x$, при которых выражение строго больше нуля. Это интервалы со знаком «+».

Выражение положительно на $(-1; 0) \cup (0; 1) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (4; +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4}{x^5} \le 0$.

Применяем метод интервалов.

Нули числителя: $(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4=0$, откуда $x=1$, $x=2$, $x=3$.

Нули знаменателя: $x^5=0$, откуда $x=0$.

Отмечаем точки $0, 1, 2, 3$ на оси. Точка $0$ выколотая, точки $1, 2, 3$ закрашенные.

Определяем знаки на интервалах. Возьмем $x=4$:

$\frac{(4-1)^2(4-2)^3(4-3)^4}{4^5} > 0$. На $(3; +\infty)$ знак «+».

• При переходе через $x=3$ (множитель $(x-3)^4$, степень 4 – четная), знак не меняется. На $(2; 3)$ знак «+».
• При переходе через $x=2$ (множитель $(x-2)^3$, степень 3 – нечетная), знак меняется на «−». На $(1; 2)$ знак «−».
• При переходе через $x=1$ (множитель $(x-1)^2$, степень 2 – четная), знак не меняется. На $(0; 1)$ знак «−».
• При переходе через $x=0$ (множитель $x^5$, степень 5 – нечетная), знак меняется на «+». На $(-\infty; 0)$ знак «+».

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервалы со знаком «−» и нули числителя.

Выражение отрицательно на $(0; 1) \cup (1; 2)$.

Выражение равно нулю при $x=1, x=2, x=3$.

Объединяем: $(0; 1) \cup (1; 2) \cup \{1, 2, 3\}$.

Объединение $(0; 1) \cup \{1\} \cup (1; 2) \cup \{2\}$ дает интервал $(0; 2]$.

К этому результату нужно добавить оставшуюся точку $x=3$.

Итоговое решение: $(0; 2] \cup \{3\}$.

Ответ: $x \in (0; 2] \cup \{3\}$.

5.19. Решите неравенство:

1) $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} \ge \frac{3}{x}$;

2) $\frac{12}{x^2-4} - \frac{7}{x^2-9} \le 0$.

1) $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} \ge \frac{3}{x}$
Первым шагом перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:
$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} - \frac{3}{x} \ge 0$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x \ne 1$, $x \ne -1$ и $x \ne 0$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-1)(x+1)$:
$\frac{x(x+1) + x(x-1) - 3(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} \ge 0$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{x^2 + x + x^2 - x - 3(x^2 - 1)}{x(x^2 - 1)} \ge 0$
$\frac{2x^2 - 3x^2 + 3}{x(x-1)(x+1)} \ge 0$
$\frac{3 - x^2}{x(x-1)(x+1)} \ge 0$
Решим полученное неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $3 - x^2 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$. Эти точки входят в решение, так как неравенство нестрогое.
Нули знаменателя: $x=0$, $x-1=0 \implies x=1$, $x+1=0 \implies x=-1$. Эти точки не входят в решение (выколотые).
Нанесем точки на числовую ось в порядке возрастания: $-\sqrt{3}, -1, 0, 1, \sqrt{3}$.
Определим знак выражения $\frac{3-x^2}{x(x-1)(x+1)}$ в каждом из полученных интервалов:
- при $x > \sqrt{3}$ (например, $x=2$): $\frac{3-4}{2(1)(3)} = \frac{-1}{6} < 0$;
- при $1 < x < \sqrt{3}$ (например, $x=1.5$): $\frac{3-2.25}{1.5(0.5)(2.5)} > 0$;
- при $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $\frac{3-0.25}{0.5(-0.5)(1.5)} < 0$;
- при $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $\frac{3-0.25}{-0.5(-1.5)(0.5)} > 0$;
- при $-\sqrt{3} < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $\frac{3-2.25}{-1.5(-2.5)(-0.5)} < 0$;
- при $x < -\sqrt{3}$ (например, $x=-2$): $\frac{3-4}{-2(-3)(-1)} > 0$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$).
Объединяя интервалы с положительным знаком и включая нули числителя, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup (-1, 0) \cup (1, \sqrt{3}]$

2) $\frac{12}{x^2-4} - \frac{7}{x^2-9} \le 0$
ОДЗ: $x^2-4 \ne 0$ и $x^2-9 \ne 0$, то есть $x \ne \pm 2$ и $x \ne \pm 3$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x^2-4)(x^2-9)$:
$\frac{12(x^2-9) - 7(x^2-4)}{(x^2-4)(x^2-9)} \le 0$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{12x^2 - 108 - 7x^2 + 28}{(x^2-4)(x^2-9)} \le 0$
$\frac{5x^2 - 80}{(x^2-4)(x^2-9)} \le 0$
Вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе и разделим на него обе части неравенства (знак не изменится, так как 5 > 0):
$\frac{x^2 - 16}{(x^2-4)(x^2-9)} \le 0$
Разложим числитель и знаменатель на множители:
$\frac{(x-4)(x+4)}{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)} \le 0$
Решим неравенство методом интервалов.
Нули числителя: $x-4=0 \implies x=4$, $x+4=0 \implies x=-4$. Эти точки входят в решение (закрашенные).
Нули знаменателя: $x=\pm 2$, $x=\pm 3$. Эти точки не входят в решение (выколотые).
Нанесем точки на числовую ось: $-4, -3, -2, 2, 3, 4$.
Определим знаки выражения в каждом интервале. Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки будут чередоваться.
Возьмем $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)(+)(+)} > 0$.
Расставляем знаки справа налево: +, -, +, -, +, -, +.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$).
Это интервалы $(-4, -3)$, $(-2, 2)$ и $(3, 4)$. Включаем в решение нули числителя $x=\pm 4$.
Ответ: $x \in [-4, -3) \cup (-2, 2) \cup (3, 4]$

5.20. Решите неравенство:

1) $ \frac{2(x-3)}{x(x-6)} < \frac{1}{x-1} $;

2) $ \frac{2x+3}{x^2+x-12} < \frac{1}{2} $.

1) $ \frac{2(x - 3)}{x(x - 6)} < \frac{1}{x - 1} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю, поэтому $x \neq 0$, $x \neq 6$, $x \neq 1$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$ \frac{2(x - 3)}{x(x - 6)} - \frac{1}{x - 1} < 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x - 6)(x - 1)$:

$ \frac{2(x - 3)(x - 1) - x(x - 6)}{x(x - 6)(x - 1)} < 0 $

Раскроем скобки и упростим числитель:

$ \frac{2(x^2 - x - 3x + 3) - (x^2 - 6x)}{x(x - 6)(x - 1)} < 0 $

$ \frac{2(x^2 - 4x + 3) - x^2 + 6x}{x(x - 6)(x - 1)} < 0 $

$ \frac{2x^2 - 8x + 6 - x^2 + 6x}{x(x - 6)(x - 1)} < 0 $

$ \frac{x^2 - 2x + 6}{x(x - 6)(x - 1)} < 0 $

Рассмотрим числитель $x^2 - 2x + 6$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$.

Так как дискриминант $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), то квадратный трехчлен $x^2 - 2x + 6$ положителен при любых значениях $x$.

Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби определяется знаком знаменателя. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$ x(x - 1)(x - 6) < 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни выражения в левой части: $x=0$, $x=1$, $x=6$. Эти точки делят числовую прямую на четыре интервала. Определим знак выражения на каждом из них:

• При $x > 6$ (например, $x=7$): $7(7-1)(7-6) > 0$. Знак (+).
• При $1 < x < 6$ (например, $x=2$): $2(2-1)(2-6) < 0$. Знак (-).
• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $0.5(0.5-1)(0.5-6) > 0$. Знак (+).
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $(-1)(-1-1)(-1-6) < 0$. Знак (-).

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty; 0)$ и $(1; 6)$. Эти интервалы удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; 6)$.

2) $ \frac{2x + 3}{x^2 + x - 12} < \frac{1}{2} $

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$ \frac{2x + 3}{x^2 + x - 12} - \frac{1}{2} < 0 $

Разложим знаменатель $x^2 + x - 12$ на множители. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$. Следовательно, $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$.

Неравенство принимает вид:

$ \frac{2x + 3}{(x - 3)(x + 4)} - \frac{1}{2} < 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю $2(x - 3)(x + 4)$:

$ \frac{2(2x + 3) - 1(x - 3)(x + 4)}{2(x - 3)(x + 4)} < 0 $

Упростим числитель:

$ \frac{4x + 6 - (x^2 + 4x - 3x - 12)}{2(x - 3)(x + 4)} < 0 $

$ \frac{4x + 6 - (x^2 + x - 12)}{2(x - 3)(x + 4)} < 0 $

$ \frac{4x + 6 - x^2 - x + 12}{2(x - 3)(x + 4)} < 0 $

$ \frac{-x^2 + 3x + 18}{2(x - 3)(x + 4)} < 0 $

Умножим обе части неравенства на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным, и изменим знак неравенства на противоположный:

$ \frac{x^2 - 3x - 18}{2(x - 3)(x + 4)} > 0 $

Положительный множитель 2 в знаменателе не влияет на знак дроби, поэтому неравенство равносильно:

$ \frac{x^2 - 3x - 18}{(x - 3)(x + 4)} > 0 $

Разложим на множители числитель $x^2 - 3x - 18$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$ по теореме Виета $x_1 = 6$ и $x_2 = -3$. Значит, $x^2 - 3x - 18 = (x - 6)(x + 3)$.

Получаем неравенство:

$ \frac{(x - 6)(x + 3)}{(x - 3)(x + 4)} > 0 $

Решим его методом интервалов. Найдем нули числителя ($x=6, x=-3$) и нули знаменателя ($x=3, x=-4$). Отметим эти точки на числовой прямой (все точки выколотые, так как неравенство строгое) и определим знаки выражения в полученных интервалах:

• При $x > 6$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак (+).
• При $3 < x < 6$: $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} < 0$. Знак (-).
• При $-3 < x < 3$: $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$. Знак (+).
• При $-4 < x < -3$: $\frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0$. Знак (-).
• При $x < -4$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$. Знак (+).

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-3; 3) \cup (6; +\infty)$.

5.21. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} < 0;$

2) $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} > 0;$

3) $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} \le 0;$

4) $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} \ge 0;$

5) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} < 0;$

6) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} > 0;$

7) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \le 0;$

8) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \ge 0.$

1)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} < 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x^2 - 1 \ge 0$. Разложим на множители: $(x-1)(x+1) \ge 0$. Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Квадратный корень $\sqrt{x^2 - 1}$ всегда неотрицателен. Чтобы произведение было строго отрицательным, множитель $\sqrt{x^2 - 1}$ должен быть строго больше нуля, а множитель $(x^2 - 4)$ должен быть строго меньше нуля.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 4 < 0 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство системы: $x^2 < 4$, что эквивалентно $-2 < x < 2$, или $x \in (-2, 2)$.

Решаем второе неравенство системы: $x^2 > 1$, что эквивалентно $x < -1$ или $x > 1$, или $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств решений: $x \in (-2, 2) \cap ((-\infty, -1) \cup (1, \infty))$.

Пересечение $(-2, 2)$ с $(-\infty, -1)$ дает интервал $(-2, -1)$.

Пересечение $(-2, 2)$ с $(1, \infty)$ дает интервал $(1, 2)$.

Объединяя эти интервалы, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (1, 2)$.

2)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} > 0$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Поскольку $\sqrt{x^2 - 1} \ge 0$, для того чтобы произведение было строго положительным, оба множителя должны быть строго положительными.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $x^2 > 4$, что эквивалентно $x < -2$ или $x > 2$, или $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Решаем второе неравенство: $x^2 > 1$, что эквивалентно $x < -1$ или $x > 1$, или $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Найдем пересечение множеств решений: $x \in ((-\infty, -2) \cup (2, \infty)) \cap ((-\infty, -1) \cup (1, \infty))$.

Пересечение $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ с $(-\infty, -1)$ дает $(-\infty, -2)$.

Пересечение $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ с $(1, \infty)$ дает $(2, \infty)$.

Объединяя эти интервалы, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

3)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} \le 0$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Неравенство выполняется, когда произведение меньше нуля или равно нулю.

Случай 1: Произведение равно нулю, т.е. $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} = 0$.
Это возможно, если $\sqrt{x^2 - 1} = 0$, откуда $x^2 - 1 = 0$, т.е. $x = 1$ и $x = -1$.
Или если $x^2 - 4 = 0$ (при $x$ из ОДЗ), откуда $x=2$ и $x=-2$. Оба значения принадлежат ОДЗ. Таким образом, решениями являются $x \in \{-2, -1, 1, 2\}$.

Случай 2: Произведение строго меньше нуля, т.е. $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} < 0$.
Как мы выяснили в пункте 1), решением этого неравенства является $x \in (-2, -1) \cup (1, 2)$.

Объединим решения из обоих случаев: $x \in ((-2, -1) \cup (1, 2)) \cup \{-2, -1, 1, 2\}$.

В результате получаем объединение отрезков.

Ответ: $x \in [-2, -1] \cup [1, 2]$.

4)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} \ge 0$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Неравенство выполняется, когда произведение больше нуля или равно нулю.

Случай 1: Произведение равно нулю. Из пункта 3) мы знаем, что решениями являются $x \in \{-2, -1, 1, 2\}$.

Случай 2: Произведение строго больше нуля, т.е. $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} > 0$.
Как мы выяснили в пункте 2), решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Объединим решения из обоих случаев: $x \in ((-\infty, -2) \cup (2, \infty)) \cup \{-2, -1, 1, 2\}$.

В результате получаем итоговое множество.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty) \cup \{-1, 1\}$.

5)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} < 0$.

ОДЗ: $x^2 - 7x + 10 \ge 0$. Корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 10 = 0$ равны $x_1=2, x_2=5$. Неравенство $(x-2)(x-5) \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 2] \cup [5, \infty)$.

Так как $\sqrt{x^2 - 7x + 10} \ge 0$, для выполнения неравенства требуется, чтобы $\sqrt{x^2 - 7x + 10} > 0$ и $x^2 - 5x + 4 < 0$.

Это равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 < 0 \\ x^2 - 7x + 10 > 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $x^2 - 5x + 4 < 0 \implies (x-1)(x-4) < 0 \implies 1 < x < 4$, т.е. $x \in (1, 4)$.

Решаем второе неравенство: $x^2 - 7x + 10 > 0 \implies (x-2)(x-5) > 0 \implies x < 2$ или $x > 5$, т.е. $x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.

Находим пересечение решений: $x \in (1, 4) \cap ((-\infty, 2) \cup (5, \infty))$.

Пересечение $(1, 4)$ с $(-\infty, 2)$ дает $(1, 2)$. Пересечение с $(5, \infty)$ пусто.

Ответ: $x \in (1, 2)$.

6)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} > 0$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, 2] \cup [5, \infty)$.

Для выполнения неравенства оба множителя должны быть строго положительны. Это равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 > 0 \\ x^2 - 7x + 10 > 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $x^2 - 5x + 4 > 0 \implies (x-1)(x-4) > 0 \implies x < 1$ или $x > 4$, т.е. $x \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.

Решаем второе неравенство: $x^2 - 7x + 10 > 0 \implies x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.

Находим пересечение: $x \in ((-\infty, 1) \cup (4, \infty)) \cap ((-\infty, 2) \cup (5, \infty))$.

Пересечение $(-\infty, 1)$ с $(-\infty, 2) \cup (5, \infty)$ дает $(-\infty, 1)$.

Пересечение $(4, \infty)$ с $(-\infty, 2) \cup (5, \infty)$ дает $(5, \infty)$.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

7)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \le 0$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, 2] \cup [5, \infty)$.

Неравенство выполняется, когда произведение меньше нуля или равно нулю.

Случай 1: Произведение равно нулю. Это происходит, если:
- $\sqrt{x^2 - 7x + 10} = 0 \implies x^2 - 7x + 10 = 0 \implies x=2, x=5$. Эти точки являются решениями.
- $x^2 - 5x + 4 = 0 \implies (x-1)(x-4)=0 \implies x=1, x=4$. Проверим их по ОДЗ: - $x=1$: $1 \in (-\infty, 2]$, значит $x=1$ - решение. - $x=4$: $4 \notin (-\infty, 2] \cup [5, \infty)$, значит $x=4$ - не решение. Решения из этого случая: $x \in \{1, 2, 5\}$.

Случай 2: Произведение строго меньше нуля: $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} < 0$. Из пункта 5) мы знаем, что решением является $x \in (1, 2)$.

Объединим решения из обоих случаев: $x \in (1, 2) \cup \{1, 2, 5\}$.

Ответ: $x \in [1, 2] \cup \{5\}$.

8)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \ge 0$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, 2] \cup [5, \infty)$.

Неравенство выполняется, когда произведение больше нуля или равно нулю.

Случай 1: Произведение равно нулю. Из пункта 7) мы знаем, что решениями являются $x \in \{1, 2, 5\}$.

Случай 2: Произведение строго больше нуля: $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} > 0$. Из пункта 6) мы знаем, что решением является $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

Объединим решения из обоих случаев: $x \in ((-\infty, 1) \cup (5, \infty)) \cup \{1, 2, 5\}$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup \{2\} \cup [5, \infty)$.

5.22. Решите неравенство:

1) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} > 0;$

2) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \geq 0;$

3) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} < 0;$

4) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \leq 0;$

5) $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} < 0;$

6) $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} > 0;$

7) $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} \leq 0;$

8) $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} \geq 0.$

1) Решим неравенство $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} > 0$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $14 + 5x - x^2 \ge 0$.
Умножим неравенство на -1, изменив знак: $x^2 - 5x - 14 \le 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x - 14 = 0$ по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 7$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 5x - 14$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 5x - 14 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-2, 7]$.
На ОДЗ множитель $\sqrt{14 + 5x - x^2}$ всегда неотрицателен ($\ge 0$). Чтобы произведение было строго больше нуля, оба множителя должны быть строго больше нуля.
1) $x - 3 > 0 \implies x > 3$.
2) $\sqrt{14 + 5x - x^2} > 0 \implies 14 + 5x - x^2 \ne 0 \implies x \ne -2$ и $x \ne 7$.
Объединяя условия ($x \in [-2, 7]$, $x > 3$, $x \ne -2$, $x \ne 7$), получаем решение: $x \in (3, 7)$.
Ответ: $x \in (3, 7)$.

2) Решим неравенство $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \ge 0$.
ОДЗ, как и в предыдущем пункте: $x \in [-2, 7]$.
Неравенство вида $A \cdot B \ge 0$, где $B = \sqrt{14 + 5x - x^2} \ge 0$, равносильно совокупности двух систем:
1) Случай, когда произведение равно нулю. Это происходит, если один из множителей равен нулю (в пределах ОДЗ).
$x - 3 = 0 \implies x = 3$. (Входит в ОДЗ).
$\sqrt{14 + 5x - x^2} = 0 \implies x = -2$ или $x = 7$. (Граничные точки ОДЗ).
2) Случай, когда произведение строго больше нуля. Из пункта 1) мы знаем, что это $x \in (3, 7)$.
Объединяя все найденные решения: $\{ -2 \} \cup \{ 7 \} \cup \{ 3 \} \cup (3, 7)$, получаем $\{-2\} \cup [3, 7]$.
Ответ: $x \in \{-2\} \cup [3, 7]$.

3) Решим неравенство $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} < 0$.
ОДЗ: $x \in [-2, 7]$.
Так как множитель $\sqrt{14 + 5x - x^2}$ не может быть отрицательным, для выполнения строгого неравенства необходимо, чтобы $\sqrt{14 + 5x - x^2} > 0$ и $x - 3 < 0$.
1) $x - 3 < 0 \implies x < 3$.
2) $\sqrt{14 + 5x - x^2} > 0 \implies x \in (-2, 7)$.
Находим пересечение условий $x < 3$ и $x \in (-2, 7)$. Получаем $x \in (-2, 3)$.
Ответ: $x \in (-2, 3)$.

4) Решим неравенство $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \le 0$.
ОДЗ: $x \in [-2, 7]$.
Неравенство выполняется, если:
1) Произведение равно нулю. Из пункта 2) мы знаем, что это происходит при $x = -2$, $x = 3$, $x = 7$.
2) Произведение строго меньше нуля. Из пункта 3) мы знаем, что это происходит при $x \in (-2, 3)$.
Объединяя эти решения: $\{ -2, 3, 7 \} \cup (-2, 3)$, получаем $[-2, 3] \cup \{7\}$.
Ответ: $x \in [-2, 3] \cup \{7\}$.

5) Решим неравенство $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} < 0$.
Найдем ОДЗ: $16 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 16 \implies -4 \le x \le 4$. ОДЗ: $x \in [-4, 4]$.
Рассмотрим знаки множителей на ОДЗ:
1) $\sqrt{16 - x^2}$ всегда неотрицателен ($\ge 0$).
2) Для множителя $x^2 - 25$: так как на ОДЗ $-4 \le x \le 4$, то $0 \le x^2 \le 16$. Тогда $x^2 - 25 \le 16 - 25 = -9$. Следовательно, множитель $x^2 - 25$ на всей ОДЗ является строго отрицательным.
Для выполнения неравенства $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} < 0$ (произведение отрицательного и неотрицательного чисел) необходимо, чтобы второй множитель был строго положителен.
$\sqrt{16 - x^2} > 0 \implies 16 - x^2 \ne 0 \implies x \ne -4$ и $x \ne 4$.
Учитывая ОДЗ $x \in [-4, 4]$, получаем решение $x \in (-4, 4)$.
Ответ: $x \in (-4, 4)$.

6) Решим неравенство $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} > 0$.
Как установлено в пункте 5), ОДЗ: $x \in [-4, 4]$. На этой области множитель $x^2 - 25$ всегда отрицателен, а множитель $\sqrt{16 - x^2}$ всегда неотрицателен.
Произведение отрицательного числа и неотрицательного числа никогда не может быть положительным. Оно всегда $\le 0$.
Следовательно, неравенство не имеет решений.
Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

7) Решим неравенство $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} \le 0$.
Как установлено в пункте 5), ОДЗ: $x \in [-4, 4]$. На этой области множитель $x^2 - 25$ всегда отрицателен, а множитель $\sqrt{16 - x^2}$ всегда неотрицателен.
Произведение отрицательного числа и неотрицательного числа всегда меньше или равно нулю.
Следовательно, неравенство выполняется для всех значений $x$ из области допустимых значений.
Ответ: $x \in [-4, 4]$.

8) Решим неравенство $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} \ge 0$.
ОДЗ: $x \in [-4, 4]$. На этой области выражение $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2}$ всегда меньше или равно нулю (см. пункты 6 и 7).
Следовательно, неравенство может выполняться только в том случае, когда выражение равно нулю.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
$x^2 - 25 = 0 \implies x = \pm 5$. Эти значения не входят в ОДЗ.
$\sqrt{16 - x^2} = 0 \implies 16 - x^2 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4$. Оба значения входят в ОДЗ.
Таким образом, решение - это только две точки.
Ответ: $x \in \{-4, 4\}$.