Страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.23. Решите неравенство $\left|\frac{x}{x^2 - 9}\right| \le \frac{x}{x^2 - 9}$

Исходное неравенство:

$$ \left| \frac{x}{x^2 - 9} \right| \le \frac{x}{x^2 - 9} $$

Введем замену. Пусть $A = \frac{x}{x^2 - 9}$. Тогда неравенство принимает вид $|A| \le A$.

По определению модуля, для любого действительного числа $A$ выполняется неравенство $|A| \ge A$. Равенство $|A| = A$ достигается тогда и только тогда, когда $A \ge 0$. Строгое неравенство $|A| < A$ невозможно. Таким образом, неравенство $|A| \le A$ может выполняться только в случае, когда $|A| = A$, что равносильно условию $A \ge 0$.

Следовательно, решение исходного неравенства сводится к решению неравенства:

$$ \frac{x}{x^2 - 9} \ge 0 $$

Для решения этого рационального неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю.

$x^2 - 9 \ne 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) \ne 0 \Rightarrow x \ne 3$ и $x \ne -3$.

Далее найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x = 0$.

Нули знаменателя: $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = -3, x = 3$.

Нанесем эти точки на числовую прямую. Точки $x = -3$ и $x = 3$ (нули знаменателя) будут выколотыми, а точка $x = 0$ (нуль числителя) будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\ge$). Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала. Определим знак выражения $f(x) = \frac{x}{(x-3)(x+3)}$ в каждом из них.

На интервале $(-\infty, -3)$, например при $x = -4$, получаем $f(-4) = \frac{-4}{(-4)^2 - 9} = \frac{-4}{16 - 9} = -\frac{4}{7} < 0$.

На интервале $(-3, 0)$, например при $x = -1$, получаем $f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 - 9} = \frac{-1}{1 - 9} = \frac{1}{8} > 0$.

На интервале $(0, 3)$, например при $x = 1$, получаем $f(1) = \frac{1}{1^2 - 9} = \frac{1}{1 - 9} = -\frac{1}{8} < 0$.

На интервале $(3, +\infty)$, например при $x = 4$, получаем $f(4) = \frac{4}{4^2 - 9} = \frac{4}{16 - 9} = \frac{4}{7} > 0$.

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение $\frac{x}{x^2 - 9}$ неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Это происходит на интервалах, где знак выражения положительный, а также в точке, где выражение равно нулю.

Выражение равно нулю при $x=0$. Выражение больше нуля на интервалах $(-3, 0)$ и $(3, +\infty)$.

Объединяя эти результаты, получаем решение неравенства: $x \in (-3, 0] \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3, 0] \cup (3, +\infty)$.

5.24. Решите неравенство $\left|\frac{x-1}{x^2-16}\right| \leq \frac{x-1}{x^2-16}$

Данное неравенство имеет вид $|A| \le A$, где $A = \frac{x-1}{x^2-16}$. По свойству модуля, такое неравенство выполняется тогда и только тогда, когда подмодульное выражение $A$ неотрицательно, то есть $A \ge 0$.

Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству:

$\frac{x-1}{x^2-16} \ge 0$

Разложим знаменатель на множители, чтобы применить метод интервалов:

$\frac{x-1}{(x-4)(x+4)} \ge 0$

Найдём точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Это точки $x=1$, $x=4$ и $x=-4$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому точки $x=-4$ и $x=4$ не входят в решение (на числовой оси они отмечаются как выколотые). Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точка, в которой числитель равен нулю ($x=1$), входит в решение (отмечается как закрашенная).

Определим знак выражения на каждом из интервалов. Для этого достаточно определить знак на одном из них, а затем учесть, что при переходе через каждую из точек $x=-4, 1, 4$ знак выражения будет меняться, так как все множители $(x-1), (x-4), (x+4)$ стоят в первой степени (нечётной).

Возьмём пробную точку из крайнего правого интервала $(4, +\infty)$, например, $x=5$. Получим $\frac{5-1}{(5-4)(5+4)} = \frac{4}{1 \cdot 9} > 0$. Таким образом, на интервале $(4, +\infty)$ выражение имеет знак "+". Двигаясь справа налево по числовой оси и чередуя знаки при переходе через точки $4, 1, -4$, получаем, что на интервале $(1, 4)$ знак "-", на интервале $(-4, 1)$ знак "+", и на интервале $(-\infty, -4)$ знак "-".

Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю ($\ge 0$). Это соответствует интервалам со знаком "+" и закрашенной точке $x=1$, где выражение равно нулю.

Объединяя полученные результаты, получаем решение: $x \in (-4, 1] \cup (4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-4, 1] \cup (4, +\infty)$.

5.25. Для каждого значения a решите неравенство:

1) $(x - 3)(x - a) < 0;$

2) $(x - 3)(x - a)^2 > 0;$

3) $(x - 3)(x - a)^2 \ge 0;$

4) $(x - a)(x + 5)^2 < 0;$

5) $(x - a)(x + 5)^2 \le 0;$

6) $\frac{x - 5}{x - a} \ge 0;$

7) $\frac{(x + 1)(x - a)}{x + 1} \ge 0;$

8) $\frac{(x + 1)(x - a)}{x - a} \le 0.$

1)

Решим неравенство $(x-3)(x-a) < 0$.

Это квадратичное неравенство. График функции $y = (x-3)(x-a)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство выполняется на интервале между корнями $x_1=3$ и $x_2=a$. Решение зависит от взаимного расположения корней.

Случай 1: $a < 3$.
Корни на числовой оси: $a$ и $3$. Решением является интервал между ними: $x \in (a, 3)$.

Случай 2: $a = 3$.
Неравенство принимает вид $(x-3)^2 < 0$. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, неравенство не имеет решений: $x \in \emptyset$.

Случай 3: $a > 3$.
Корни на числовой оси: $3$ и $a$. Решением является интервал между ними: $x \in (3, a)$.

Ответ: если $a < 3$, то $x \in (a, 3)$; если $a = 3$, то решений нет; если $a > 3$, то $x \in (3, a)$.

2)

Решим неравенство $(x-3)(x-a)^2 > 0$.

Множитель $(x-a)^2$ всегда неотрицателен. Для выполнения строгого неравенства необходимо, чтобы $(x-a)^2 \neq 0$, то есть $x \neq a$.
При $x \neq a$ множитель $(x-a)^2$ строго положителен, поэтому неравенство равносильно неравенству $x-3 > 0$, то есть $x > 3$.
Таким образом, решение — это все $x$, удовлетворяющие условиям $x > 3$ и $x \neq a$.

Случай 1: $a \le 3$.
Если $x > 3$, то условие $x \neq a$ выполняется автоматически. Следовательно, решение: $x \in (3, \infty)$.

Случай 2: $a > 3$.
Нужно удовлетворить обоим условиям: $x > 3$ и $x \neq a$. Так как $a$ попадает в интервал $(3, \infty)$, его нужно исключить. Решение: $x \in (3, a) \cup (a, \infty)$.

Ответ: если $a \le 3$, то $x \in (3, \infty)$; если $a > 3$, то $x \in (3, a) \cup (a, \infty)$.

3)

Решим неравенство $(x-3)(x-a)^2 \ge 0$.

Неравенство выполняется, если одна из скобок равна нулю, то есть при $x=3$ или $x=a$.
Рассмотрим случай, когда $(x-3)(x-a)^2 > 0$. Как и в предыдущем пункте, это равносильно системе $x > 3$ и $x \neq a$.
Объединим решения: множество решений состоит из точки $x=a$ и интервалов, где $x > 3$ и $x \neq a$. То есть, общее решение — это $\{a\} \cup [3, \infty)$.

Случай 1: $a < 3$.
Точка $a$ не входит в промежуток $[3, \infty)$. Решение: $x \in \{a\} \cup [3, \infty)$.

Случай 2: $a \ge 3$.
Точка $a$ уже содержится в промежутке $[3, \infty)$. Решение: $x \in [3, \infty)$.

Ответ: если $a < 3$, то $x \in \{a\} \cup [3, \infty)$; если $a \ge 3$, то $x \in [3, \infty)$.

4)

Решим неравенство $(x-a)(x+5)^2 < 0$.

Аналогично пункту 2, множитель $(x+5)^2$ неотрицателен. Для выполнения строгого неравенства нужно, чтобы $x+5 \neq 0$, то есть $x \neq -5$.
При $x \neq -5$ множитель $(x+5)^2$ строго положителен, и неравенство равносильно $x-a < 0$, то есть $x < a$.
Итоговое решение — это все $x$, удовлетворяющие условиям $x < a$ и $x \neq -5$.

Случай 1: $a \le -5$.
Условие $x < a$ автоматически влечет за собой $x \neq -5$. Решение: $x \in (-\infty, a)$.

Случай 2: $a > -5$.
Нужно удовлетворить обоим условиям: $x < a$ и $x \neq -5$. Так как $-5$ попадает в интервал $(-\infty, a)$, его нужно исключить. Решение: $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, a)$.

Ответ: если $a \le -5$, то $x \in (-\infty, a)$; если $a > -5$, то $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, a)$.

5)

Решим неравенство $(x-a)(x+5)^2 \le 0$.

Неравенство выполняется, если множители равны нулю, то есть при $x=a$ или $x=-5$.
Рассмотрим случай, когда $(x-a)(x+5)^2 < 0$. Как и в предыдущем пункте, это равносильно системе $x < a$ и $x \neq -5$.
Объединим решения: множество решений состоит из точек $x=a$, $x=-5$ и интервалов, где $x < a$ и $x \neq -5$. То есть, общее решение — это $\{x \mid x \le a\} \cup \{-5\}$.

Случай 1: $a < -5$.
Точка $-5$ не входит в промежуток $(-\infty, a]$. Решение: $x \in (-\infty, a] \cup \{-5\}$.

Случай 2: $a \ge -5$.
Точка $-5$ уже содержится в промежутке $(-\infty, a]$. Решение: $x \in (-\infty, a]$.

Ответ: если $a < -5$, то $x \in (-\infty, a] \cup \{-5\}$; если $a \ge -5$, то $x \in (-\infty, a]$.

6)

Решим неравенство $\frac{x-5}{x-a} \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x-a \neq 0$, то есть $x \neq a$.
Данное неравенство равносильно системе: $\begin{cases} (x-5)(x-a) \ge 0 \\ x \neq a \end{cases}$.
Решаем неравенство $(x-5)(x-a) \ge 0$ методом интервалов. Корни: $5$ и $a$.

Случай 1: $a < 5$.
Корни на оси: $a, 5$. Решение для $(x-5)(x-a) \ge 0$ есть $x \in (-\infty, a] \cup [5, \infty)$. Учитывая ОДЗ ($x \neq a$), получаем: $x \in (-\infty, a) \cup [5, \infty)$.

Случай 2: $a = 5$.
Неравенство принимает вид $\frac{x-5}{x-5} \ge 0$. ОДЗ: $x \neq 5$. При $x \neq 5$ выражение равно $1$, и $1 \ge 0$ верно. Решение: $x \in (-\infty, 5) \cup (5, \infty)$.

Случай 3: $a > 5$.
Корни на оси: $5, a$. Решение для $(x-5)(x-a) \ge 0$ есть $x \in (-\infty, 5] \cup [a, \infty)$. Учитывая ОДЗ ($x \neq a$), получаем: $x \in (-\infty, 5] \cup (a, \infty)$.

Ответ: если $a < 5$, то $x \in (-\infty, a) \cup [5, \infty)$; если $a = 5$, то $x \in (-\infty, 5) \cup (5, \infty)$; если $a > 5$, то $x \in (-\infty, 5] \cup (a, \infty)$.

7)

Решим неравенство $\frac{(x+1)(x-a)}{x+1} \ge 0$.

ОДЗ: $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.
При $x \neq -1$ можно сократить дробь, и неравенство становится равносильным $x-a \ge 0$, то есть $x \ge a$.
Итак, ищем решение системы $\begin{cases} x \ge a \\ x \neq -1 \end{cases}$.

Случай 1: $a < -1$.
Решение $x \ge a$ — это промежуток $[a, \infty)$. Точка $x=-1$ попадает в этот промежуток, ее нужно исключить. Решение: $x \in [a, -1) \cup (-1, \infty)$.

Случай 2: $a = -1$.
Система: $\begin{cases} x \ge -1 \\ x \neq -1 \end{cases}$. Решение: $x > -1$, то есть $x \in (-1, \infty)$.

Случай 3: $a > -1$.
Решение $x \ge a$. Так как $a > -1$, все значения $x$ из этого промежутка автоматически больше $-1$, поэтому условие $x \neq -1$ выполняется. Решение: $x \in [a, \infty)$.

Ответ: если $a < -1$, то $x \in [a, -1) \cup (-1, \infty)$; если $a = -1$, то $x \in (-1, \infty)$; если $a > -1$, то $x \in [a, \infty)$.

8)

Решим неравенство $\frac{(x+1)(x-a)}{x-a} \le 0$.

ОДЗ: $x-a \neq 0$, то есть $x \neq a$.
При $x \neq a$ можно сократить дробь, и неравенство становится равносильным $x+1 \le 0$, то есть $x \le -1$.
Итак, ищем решение системы $\begin{cases} x \le -1 \\ x \neq a \end{cases}$.

Случай 1: $a < -1$.
Решение $x \le -1$ — это промежуток $(-\infty, -1]$. Точка $x=a$ попадает в этот промежуток, ее нужно исключить. Решение: $x \in (-\infty, a) \cup (a, -1]$.

Случай 2: $a = -1$.
Система: $\begin{cases} x \le -1 \\ x \neq -1 \end{cases}$. Решение: $x < -1$, то есть $x \in (-\infty, -1)$.

Случай 3: $a > -1$.
Решение $x \le -1$. Так как $a > -1$, точка $a$ не попадает в промежуток $(-\infty, -1]$, поэтому условие $x \neq a$ выполняется автоматически. Решение: $x \in (-\infty, -1]$.

Ответ: если $a < -1$, то $x \in (-\infty, a) \cup (a, -1]$; если $a = -1$, то $x \in (-\infty, -1)$; если $a > -1$, то $x \in (-\infty, -1]$.

5.26. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = 2x + 3;$

2) $x^2 = \frac{8}{x}.$

1) $x^2 = 2x + 3$

Для решения данного уравнения графическим методом необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2$ и $y = 2x + 3$. Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут являться решениями исходного уравнения.

1. Построим график функции $y = x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, точке $(0; 0)$.
Составим таблицу значений для параболы:

2. Построим график функции $y = 2x + 3$. Это прямая. Для ее построения достаточно двух точек.
Составим таблицу значений для прямой:

3. Построим оба графика в одной системе координат.

Графики пересекаются в двух точках. Найдем их координаты на графике. Это точки $A(-1; 1)$ и $B(3; 9)$.
Абсциссы этих точек $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$ являются решениями уравнения.

Проверка:
Для $x = -1$: $(-1)^2 = 1$, $2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1$. $1=1$. Верно.
Для $x = 3$: $3^2 = 9$, $2(3) + 3 = 6 + 3 = 9$. $9=9$. Верно.

Ответ: -1; 3.

2) $x^2 = \frac{8}{x}$

Для решения данного уравнения графическим методом построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = \frac{8}{x}$. Абсцисса точки пересечения этих графиков будет являться решением уравнения.

1. График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх.

2. График функции $y = \frac{8}{x}$ — гипербола. Поскольку коэффициент $8 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Ось ординат ($y$) и ось абсцисс ($x$) являются асимптотами. Область определения функции: $x \neq 0$.
Составим таблицу значений для гиперболы:

3. Построим оба графика в одной системе координат.

Графики пересекаются в одной точке. Это происходит в I координатной четверти. В III четверти пересечения нет, так как для $x < 0$ значения функции $y=x^2$ всегда положительны, а значения функции $y=\frac{8}{x}$ — отрицательны.
Координаты точки пересечения: $(2; 4)$. Абсцисса этой точки $x=2$ является единственным решением уравнения.

Проверка:
Для $x = 2$: $2^2 = 4$, $\frac{8}{2} = 4$. $4=4$. Верно.

Ответ: 2.

5.27. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ 2x + 5y = 10; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^2, \\ 3x + 2y = -6. \end{cases}$

1) Чтобы графически определить количество решений системы уравнений $\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ 2x + 5y = 10 \end{cases}$, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти количество точек их пересечения.

Преобразуем уравнения к виду функций:
Первое уравнение: $y - x^2 = 0 \Rightarrow y = x^2$. Это уравнение параболы.
Второе уравнение: $2x + 5y = 10 \Rightarrow 5y = 10 - 2x \Rightarrow y = -\frac{2}{5}x + 2$. Это уравнение прямой.

Построим график функции $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Некоторые точки параболы: $(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)$.

Построим график функции $y = -\frac{2}{5}x + 2$. Это прямая. Для построения найдем две точки:
Если $x = 0$, то $y = -\frac{2}{5}(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
Если $y = 0$, то $0 = -\frac{2}{5}x + 2 \Rightarrow \frac{2}{5}x = 2 \Rightarrow x = 5$. Точка $(5, 0)$.

Теперь построим оба графика на одной координатной плоскости. Парабола $y = x^2$ проходит через начало координат, а прямая $y = -\frac{2}{5}x + 2$ пересекает ось $y$ в точке $(0, 2)$ и ось $x$ в точке $(5, 0)$. Видно, что прямая пересекает параболу в двух точках: одна точка находится в первом квадранте, а другая — во втором.

Количество точек пересечения графиков равно количеству решений системы. Так как графики пересекаются в двух точках, система имеет два решения.
Для проверки можно решить систему аналитически. Подставив $y = x^2$ во второе уравнение, получим квадратное уравнение: $2x + 5x^2 = 10$, или $5x^2 + 2x - 10 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-10) = 4 + 200 = 204$. Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что подтверждает наличие двух точек пересечения.
Ответ: 2

2) Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y = x^2, \\ 3x + 2y = -6 \end{cases}$. Для определения количества решений построим графики этих уравнений.

Первое уравнение $y = x^2$ задает параболу, как и в предыдущем пункте.
Преобразуем второе уравнение: $3x + 2y = -6 \Rightarrow 2y = -3x - 6 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}x - 3$. Это уравнение прямой.

График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Все точки этой параболы имеют неотрицательную ординату ($y \ge 0$).

Построим график прямой $y = -\frac{3}{2}x - 3$. Найдем две точки:
Если $x = 0$, то $y = -\frac{3}{2}(0) - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
Если $y = 0$, то $0 = -\frac{3}{2}x - 3 \Rightarrow \frac{3}{2}x = -3 \Rightarrow x = -2$. Точка $(-2, 0)$.

Построим графики на одной координатной плоскости. Парабола $y=x^2$ расположена в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Прямая $y = -\frac{3}{2}x - 3$ пересекает ось $y$ в точке $(0, -3)$ и ось $x$ в точке $(-2, 0)$. Из расположения графиков видно, что парабола и прямая не имеют общих точек. Вершина параболы $(0,0)$ находится выше, чем точка пересечения прямой с осью $y$ $(0,-3)$. В области, где прямая имеет положительные значения $y$ (при $x < -2$), парабола растет гораздо быстрее и всегда находится выше прямой.

Поскольку графики не пересекаются, система уравнений не имеет действительных решений.
Проверим это аналитически. Подставим $y=x^2$ во второе уравнение: $3x + 2x^2 = -6$, или $2x^2 + 3x + 6 = 0$. Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 9 - 48 = -39$. Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, графики не пересекаются.
Ответ: 0