Номер 5.21, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.21. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} < 0;$

2) $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} > 0;$

3) $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} \le 0;$

4) $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} \ge 0;$

5) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} < 0;$

6) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} > 0;$

7) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \le 0;$

8) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \ge 0.$

1)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} < 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x^2 - 1 \ge 0$. Разложим на множители: $(x-1)(x+1) \ge 0$. Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Квадратный корень $\sqrt{x^2 - 1}$ всегда неотрицателен. Чтобы произведение было строго отрицательным, множитель $\sqrt{x^2 - 1}$ должен быть строго больше нуля, а множитель $(x^2 - 4)$ должен быть строго меньше нуля.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 4 < 0 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство системы: $x^2 < 4$, что эквивалентно $-2 < x < 2$, или $x \in (-2, 2)$.

Решаем второе неравенство системы: $x^2 > 1$, что эквивалентно $x < -1$ или $x > 1$, или $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств решений: $x \in (-2, 2) \cap ((-\infty, -1) \cup (1, \infty))$.

Пересечение $(-2, 2)$ с $(-\infty, -1)$ дает интервал $(-2, -1)$.

Пересечение $(-2, 2)$ с $(1, \infty)$ дает интервал $(1, 2)$.

Объединяя эти интервалы, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (1, 2)$.

2)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} > 0$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Поскольку $\sqrt{x^2 - 1} \ge 0$, для того чтобы произведение было строго положительным, оба множителя должны быть строго положительными.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $x^2 > 4$, что эквивалентно $x < -2$ или $x > 2$, или $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Решаем второе неравенство: $x^2 > 1$, что эквивалентно $x < -1$ или $x > 1$, или $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Найдем пересечение множеств решений: $x \in ((-\infty, -2) \cup (2, \infty)) \cap ((-\infty, -1) \cup (1, \infty))$.

Пересечение $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ с $(-\infty, -1)$ дает $(-\infty, -2)$.

Пересечение $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ с $(1, \infty)$ дает $(2, \infty)$.

Объединяя эти интервалы, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

3)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} \le 0$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Неравенство выполняется, когда произведение меньше нуля или равно нулю.

Случай 1: Произведение равно нулю, т.е. $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} = 0$.
Это возможно, если $\sqrt{x^2 - 1} = 0$, откуда $x^2 - 1 = 0$, т.е. $x = 1$ и $x = -1$.
Или если $x^2 - 4 = 0$ (при $x$ из ОДЗ), откуда $x=2$ и $x=-2$. Оба значения принадлежат ОДЗ. Таким образом, решениями являются $x \in \{-2, -1, 1, 2\}$.

Случай 2: Произведение строго меньше нуля, т.е. $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} < 0$.
Как мы выяснили в пункте 1), решением этого неравенства является $x \in (-2, -1) \cup (1, 2)$.

Объединим решения из обоих случаев: $x \in ((-2, -1) \cup (1, 2)) \cup \{-2, -1, 1, 2\}$.

В результате получаем объединение отрезков.

Ответ: $x \in [-2, -1] \cup [1, 2]$.

4)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} \ge 0$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Неравенство выполняется, когда произведение больше нуля или равно нулю.

Случай 1: Произведение равно нулю. Из пункта 3) мы знаем, что решениями являются $x \in \{-2, -1, 1, 2\}$.

Случай 2: Произведение строго больше нуля, т.е. $(x^2 - 4)\sqrt{x^2 - 1} > 0$.
Как мы выяснили в пункте 2), решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Объединим решения из обоих случаев: $x \in ((-\infty, -2) \cup (2, \infty)) \cup \{-2, -1, 1, 2\}$.

В результате получаем итоговое множество.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty) \cup \{-1, 1\}$.

5)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} < 0$.

ОДЗ: $x^2 - 7x + 10 \ge 0$. Корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 10 = 0$ равны $x_1=2, x_2=5$. Неравенство $(x-2)(x-5) \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 2] \cup [5, \infty)$.

Так как $\sqrt{x^2 - 7x + 10} \ge 0$, для выполнения неравенства требуется, чтобы $\sqrt{x^2 - 7x + 10} > 0$ и $x^2 - 5x + 4 < 0$.

Это равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 < 0 \\ x^2 - 7x + 10 > 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $x^2 - 5x + 4 < 0 \implies (x-1)(x-4) < 0 \implies 1 < x < 4$, т.е. $x \in (1, 4)$.

Решаем второе неравенство: $x^2 - 7x + 10 > 0 \implies (x-2)(x-5) > 0 \implies x < 2$ или $x > 5$, т.е. $x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.

Находим пересечение решений: $x \in (1, 4) \cap ((-\infty, 2) \cup (5, \infty))$.

Пересечение $(1, 4)$ с $(-\infty, 2)$ дает $(1, 2)$. Пересечение с $(5, \infty)$ пусто.

Ответ: $x \in (1, 2)$.

6)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} > 0$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, 2] \cup [5, \infty)$.

Для выполнения неравенства оба множителя должны быть строго положительны. Это равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 > 0 \\ x^2 - 7x + 10 > 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $x^2 - 5x + 4 > 0 \implies (x-1)(x-4) > 0 \implies x < 1$ или $x > 4$, т.е. $x \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.

Решаем второе неравенство: $x^2 - 7x + 10 > 0 \implies x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.

Находим пересечение: $x \in ((-\infty, 1) \cup (4, \infty)) \cap ((-\infty, 2) \cup (5, \infty))$.

Пересечение $(-\infty, 1)$ с $(-\infty, 2) \cup (5, \infty)$ дает $(-\infty, 1)$.

Пересечение $(4, \infty)$ с $(-\infty, 2) \cup (5, \infty)$ дает $(5, \infty)$.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

7)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \le 0$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, 2] \cup [5, \infty)$.

Неравенство выполняется, когда произведение меньше нуля или равно нулю.

Случай 1: Произведение равно нулю. Это происходит, если:
- $\sqrt{x^2 - 7x + 10} = 0 \implies x^2 - 7x + 10 = 0 \implies x=2, x=5$. Эти точки являются решениями.
- $x^2 - 5x + 4 = 0 \implies (x-1)(x-4)=0 \implies x=1, x=4$. Проверим их по ОДЗ: - $x=1$: $1 \in (-\infty, 2]$, значит $x=1$ - решение. - $x=4$: $4 \notin (-\infty, 2] \cup [5, \infty)$, значит $x=4$ - не решение. Решения из этого случая: $x \in \{1, 2, 5\}$.

Случай 2: Произведение строго меньше нуля: $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} < 0$. Из пункта 5) мы знаем, что решением является $x \in (1, 2)$.

Объединим решения из обоих случаев: $x \in (1, 2) \cup \{1, 2, 5\}$.

Ответ: $x \in [1, 2] \cup \{5\}$.

8)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \ge 0$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, 2] \cup [5, \infty)$.

Неравенство выполняется, когда произведение больше нуля или равно нулю.

Случай 1: Произведение равно нулю. Из пункта 7) мы знаем, что решениями являются $x \in \{1, 2, 5\}$.

Случай 2: Произведение строго больше нуля: $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} > 0$. Из пункта 6) мы знаем, что решением является $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

Объединим решения из обоих случаев: $x \in ((-\infty, 1) \cup (5, \infty)) \cup \{1, 2, 5\}$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup \{2\} \cup [5, \infty)$.