Номер 4.1, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.1. Равносильны ли уравнения:

1) $-2x = -6$ и $\frac{1}{3}x = 1$;

2) $x - 5 = 0$ и $x(x - 5) = 0$;

3) $\frac{6}{x} = 0$ и $x^2 = -4$;

4) $x + 1 = 1 + x$ и $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$;

5) $x^3 = 1$ и $\vert x \vert = 1$;

6) $x^{100} = 1$ и $x^{1000} = 1$;

7) $\frac{x}{x} = 1$ и $x = x$;

8) $x^2 + 2x + 1 = 0$ и $x + 1 = 0$;

9) $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$ и $x - 1 = 0$;

10) $\frac{x^2 - 9}{x + 2} = 0$ и $x^2 - 9 = 0$?

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Если оба уравнения не имеют корней, они также считаются равносильными.

1) $-2x = -6$ и $\frac{1}{3}x = 1$

Решим первое уравнение: $-2x = -6$. Разделив обе части на $-2$, получим $x = 3$. Множество корней этого уравнения: $\{3\}$.
Решим второе уравнение: $\frac{1}{3}x = 1$. Умножив обе части на $3$, получим $x = 3$. Множество корней этого уравнения: $\{3\}$.
Множества корней обоих уравнений совпадают.
Ответ: Да, уравнения равносильны.

2) $x - 5 = 0$ и $x(x - 5) = 0$

Решим первое уравнение: $x - 5 = 0$. Его единственный корень $x = 5$. Множество корней: $\{5\}$.
Решим второе уравнение: $x(x - 5) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно, $x = 0$ или $x - 5 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$. Множество корней: $\{0, 5\}$.
Множества корней не совпадают.
Ответ: Нет, уравнения не равносильны.

3) $\frac{6}{x} = 0$ и $x^2 = -4$

Рассмотрим первое уравнение: $\frac{6}{x} = 0$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Числитель равен 6 и никогда не равен нулю. Следовательно, это уравнение не имеет корней. Множество корней: $\emptyset$.
Рассмотрим второе уравнение: $x^2 = -4$. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому это уравнение не имеет действительных корней. Множество корней: $\emptyset$.
Поскольку оба уравнения не имеют корней, их множества корней совпадают (оба пусты).
Ответ: Да, уравнения равносильны.

4) $x + 1 = 1 + x$ и $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$

Первое уравнение $x + 1 = 1 + x$ является тождеством, так как оно верно при любом значении $x$. Множество его решений — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Второе уравнение $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$. Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием $x^2 + 1 \ne 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$, значит, знаменатель никогда не обращается в ноль. ОДЗ — все действительные числа. На этой области уравнение упрощается до тождества $1=1$. Таким образом, его решение — любое действительное число, $x \in \mathbb{R}$.
Множества решений обоих уравнений совпадают.
Ответ: Да, уравнения равносильны.

5) $x^3 = 1$ и $|x| = 1$

Решим первое уравнение: $x^3 = 1$. Единственный действительный корень этого уравнения $x = 1$. Множество корней: $\{1\}$.
Решим второе уравнение: $|x| = 1$. Это уравнение имеет два корня: $x = 1$ и $x = -1$. Множество корней: $\{-1, 1\}$.
Множества корней не совпадают.
Ответ: Нет, уравнения не равносильны.

6) $x^{100} = 1$ и $x^{1000} = 1$

Решим первое уравнение: $x^{100} = 1$. Так как показатель степени $100$ — четное число, уравнение имеет два действительных корня: $x = 1$ и $x = -1$. Множество корней: $\{-1, 1\}$.
Решим второе уравнение: $x^{1000} = 1$. Показатель степени $1000$ также является четным числом, поэтому это уравнение также имеет два действительных корня: $x = 1$ и $x = -1$. Множество корней: $\{-1, 1\}$.
Множества корней совпадают.
Ответ: Да, уравнения равносильны.

7) $\frac{x}{x} = 1$ и $x = x$

Рассмотрим первое уравнение: $\frac{x}{x} = 1$. ОДЗ: $x \ne 0$. Для всех $x$ из ОДЗ уравнение является верным тождеством $1=1$. Таким образом, множество решений — все действительные числа, кроме нуля: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.
Рассмотрим второе уравнение: $x=x$. Это тождество, верное для любого действительного числа $x$. Множество решений — все действительные числа: $x \in \mathbb{R}$.
Множества решений не совпадают, так как $x=0$ является решением второго уравнения, но не входит в множество решений первого.
Ответ: Нет, уравнения не равносильны.

8) $x^2 + 2x + 1 = 0$ и $x + 1 = 0$

Левая часть первого уравнения является полным квадратом: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Таким образом, уравнение принимает вид $(x+1)^2 = 0$, откуда следует, что $x+1=0$. Единственный корень этого уравнения: $x = -1$. Множество корней: $\{-1\}$.
Второе уравнение $x + 1 = 0$ также имеет единственный корень $x = -1$. Множество корней: $\{-1\}$.
Множества корней совпадают.
Ответ: Да, уравнения равносильны.

9) $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$ и $x - 1 = 0$

Решим первое уравнение: $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$. Оно равносильно системе: $\begin{cases} x^2 - 1 = 0 \\ x + 1 \ne 0 \end{cases}$.
Из первого условия $x^2 = 1$ получаем $x=1$ или $x=-1$.
Из второго условия $x \ne -1$.
Следовательно, решением системы является только $x=1$. Множество корней: $\{1\}$.
Решим второе уравнение: $x - 1 = 0$. Его корень $x=1$. Множество корней: $\{1\}$.
Множества корней совпадают.
Ответ: Да, уравнения равносильны.

10) $\frac{x^2 - 9}{x + 2} = 0$ и $x^2 - 9 = 0$

Решим первое уравнение: $\frac{x^2 - 9}{x + 2} = 0$. Оно равносильно системе: $\begin{cases} x^2 - 9 = 0 \\ x + 2 \ne 0 \end{cases}$.
Из первого условия $x^2 = 9$ получаем $x=3$ или $x=-3$.
Из второго условия $x \ne -2$.
Оба корня ($3$ и $-3$) удовлетворяют условию $x \ne -2$. Таким образом, множество корней: $\{-3, 3\}$.
Решим второе уравнение: $x^2 - 9 = 0$. Его корни $x=3$ и $x=-3$. Множество корней: $\{-3, 3\}$.
Множества корней совпадают.
Ответ: Да, уравнения равносильны.