Номер 2.7, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.7. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{2x-1}$; 2) $y = \sqrt{3-4x}$; 3) $y = \sqrt{\frac{1}{2}x+2}$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{2x-1}$ выполним следующие шаги:

1. Найдём область определения функции.
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю.
$2x - 1 \ge 0$
$2x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{2}$
Следовательно, область определения функции $D(y) = [\frac{1}{2}; +\infty)$.

2. Определим вид графика и его преобразования.
График данной функции является преобразованным графиком базовой функции $y = \sqrt{x}$. Функцию можно представить в виде $y = \sqrt{2(x - \frac{1}{2})}$. Это означает, что для получения нашего графика, график функции $y = \sqrt{x}$ нужно:
а) сжать по горизонтали к оси OY в 2 раза;
б) сдвинуть по горизонтали (вдоль оси OX) на $\frac{1}{2}$ единицы вправо.
Начальная точка (вершина) графика находится в точке, где подкоренное выражение равно нулю. Для $x = \frac{1}{2}$, $y=0$. Таким образом, вершина находится в точке $(\frac{1}{2}, 0)$.

3. Найдём несколько контрольных точек для построения.
- При $x = \frac{1}{2}$, $y = \sqrt{2 \cdot \frac{1}{2} - 1} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(\frac{1}{2}, 0)$.
- При $x = 1$, $y = \sqrt{2 \cdot 1 - 1} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1, 1)$.
- При $x = 2.5$, $y = \sqrt{2 \cdot 2.5 - 1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2.5, 2)$.
- При $x = 5$, $y = \sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(5, 3)$.

4. Построение графика.
Отметим на координатной плоскости начальную точку $(\frac{1}{2}, 0)$ и найденные контрольные точки. Соединим их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, направленную вправо и вверх.

Ответ: График функции $y = \sqrt{2x-1}$ — это ветвь параболы с вершиной в точке $(\frac{1}{2}, 0)$, которая проходит через точки $(1, 1)$, $(2.5, 2)$ и $(5, 3)$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{3-4x}$ выполним следующие шаги:

1. Найдём область определения функции.
Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:
$3 - 4x \ge 0$
$3 \ge 4x$
$x \le \frac{3}{4}$
Следовательно, область определения функции $D(y) = (-\infty; \frac{3}{4}]$.

2. Определим вид графика и его преобразования.
График данной функции является преобразованным графиком базовой функции $y = \sqrt{x}$. Функцию можно представить в виде $y = \sqrt{-4(x - \frac{3}{4})}$. Это означает, что для получения нашего графика, график функции $y = \sqrt{x}$ нужно:
а) отразить симметрично относительно оси OY (получаем $y=\sqrt{-x}$);
б) сжать по горизонтали к оси OY в 4 раза;
в) сдвинуть по горизонтали на $\frac{3}{4}$ единицы вправо.
Начальная точка (вершина) графика находится в точке $(\frac{3}{4}, 0)$. Ветви графика направлены влево.

3. Найдём несколько контрольных точек для построения.
- При $x = \frac{3}{4}$, $y = \sqrt{3 - 4 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(\frac{3}{4}, 0)$.
- При $x = 0$, $y = \sqrt{3 - 4 \cdot 0} = \sqrt{3} \approx 1.73$. Точка $(0, \sqrt{3})$.
- При $x = -\frac{1}{4}$, $y = \sqrt{3 - 4(-\frac{1}{4})} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(-\frac{1}{4}, 2)$.
- При $x = -2$, $y = \sqrt{3 - 4(-2)} = \sqrt{3+8} = \sqrt{11} \approx 3.32$. Точка $(-2, \sqrt{11})$.

4. Построение графика.
Отметим на координатной плоскости начальную точку $(\frac{3}{4}, 0)$ и найденные контрольные точки. Соединим их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, направленную влево и вверх.

Ответ: График функции $y = \sqrt{3-4x}$ — это ветвь параболы с вершиной в точке $(\frac{3}{4}, 0)$, которая проходит через точки $(0, \sqrt{3})$, $(-\frac{1}{4}, 2)$ и $(-2, \sqrt{11})$, и направлена влево.

Для построения графика функции $y = \sqrt{\frac{1}{2}x+2}$ выполним следующие шаги:

1. Найдём область определения функции.
Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:
$\frac{1}{2}x + 2 \ge 0$
$\frac{1}{2}x \ge -2$
$x \ge -4$
Следовательно, область определения функции $D(y) = [-4; +\infty)$.

2. Определим вид графика и его преобразования.
График данной функции является преобразованным графиком базовой функции $y = \sqrt{x}$. Функцию можно представить в виде $y = \sqrt{\frac{1}{2}(x+4)}$. Это означает, что для получения нашего графика, график функции $y = \sqrt{x}$ нужно:
а) растянуть по горизонтали от оси OY в 2 раза;
б) сдвинуть по горизонтали на 4 единицы влево.
Начальная точка (вершина) графика находится в точке $(-4, 0)$.

3. Найдём несколько контрольных точек для построения.
- При $x = -4$, $y = \sqrt{\frac{1}{2}(-4)+2} = \sqrt{-2+2} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(-4, 0)$.
- При $x = -2$, $y = \sqrt{\frac{1}{2}(-2)+2} = \sqrt{-1+2} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(-2, 1)$.
- При $x = 0$, $y = \sqrt{\frac{1}{2}(0)+2} = \sqrt{2} \approx 1.41$. Точка $(0, \sqrt{2})$.
- При $x = 2$, $y = \sqrt{\frac{1}{2}(2)+2} = \sqrt{1+2} = \sqrt{3} \approx 1.73$. Точка $(2, \sqrt{3})$.
- При $x = 14$, $y = \sqrt{\frac{1}{2}(14)+2} = \sqrt{7+2} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(14, 3)$.

4. Построение графика.
Отметим на координатной плоскости начальную точку $(-4, 0)$ и найденные контрольные точки. Соединим их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, направленную вправо и вверх.

Ответ: График функции $y = \sqrt{\frac{1}{2}x+2}$ — это ветвь параболы с вершиной в точке $(-4, 0)$, которая проходит через точки $(-2, 1)$, $(0, \sqrt{2})$ и $(14, 3)$.