Номер 6.13, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.13. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^8$ на промежутке:

1) $[0, 2]$;

2) $[-2; -1]$;

3) $[-1; 1]$;

4) $(-\infty; -2]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^8$ на заданных промежутках, сначала проанализируем саму функцию. Это степенная функция с четным показателем степени. Её производная $f'(x) = 8x^7$. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $8x^7 = 0$, откуда $x=0$. При $x < 0$ производная $f'(x) < 0$, значит, функция убывает. При $x > 0$ производная $f'(x) > 0$, значит, функция возрастает. Таким образом, в точке $x=0$ функция имеет глобальный минимум, равный $f(0)=0$.

1) На промежутке $[0; 2]$.
На этом промежутке $x \ge 0$, следовательно, функция $f(x) = x^8$ монотонно возрастает. Наименьшее значение достигается в левой крайней точке промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(0) = 0^8 = 0$.
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(2) = 2^8 = 256$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 256.

2) На промежутке $[-2; -1]$.
На этом промежутке $x < 0$, следовательно, функция $f(x) = x^8$ монотонно убывает. Наибольшее значение достигается в левой крайней точке промежутка, а наименьшее — в правой.
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(-2) = (-2)^8 = 256$.
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(-1) = (-1)^8 = 1$.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 256.

3) На промежутке $[-1; 1]$.
Этот промежуток включает в себя точку минимума $x=0$. На отрезке $[-1; 0]$ функция убывает, а на отрезке $[0; 1]$ — возрастает. Следовательно, наименьшее значение на всем промежутке достигается в точке $x=0$.
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(0) = 0^8 = 0$.
Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов промежутка. Сравним значения функции в точках $x=-1$ и $x=1$.
$f(-1) = (-1)^8 = 1$.
$f(1) = 1^8 = 1$.
Наибольшее значение равно 1.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1.

4) На промежутке $(-\infty; -2]$.
На этом промежутке $x < 0$, следовательно, функция $f(x) = x^8$ монотонно убывает. Это означает, что чем больше $x$, тем меньше значение функции. Наименьшее значение будет достигаться в самой правой точке промежутка, то есть при $x=-2$.
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(-2) = (-2)^8 = 256$.
Промежуток не ограничен слева. Чтобы определить, есть ли наибольшее значение, найдем предел функции при $x$, стремящемся к минус бесконечности.
$\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} x^8 = +\infty$.
Так как функция неограниченно возрастает при $x \to -\infty$, наибольшего значения на данном промежутке не существует.
Ответ: наименьшее значение 256, наибольшего значения не существует.