Номер 6.15, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.15. Определите графически количество корней уравнения:

1) $x^8 = x+1$;

2) $x^5 = 3-2x$;

3) $x^4 = 0,5x-2$.

1) Для того чтобы графически определить количество корней уравнения $x^8 = x + 1$, построим в одной системе координат графики функций $y = x^8$ и $y = x + 1$.

График функции $y = x^8$ — это степенная функция с четным показателем. Ее график — кривая, похожая на параболу, симметричная относительно оси ординат (оси $Oy$), проходящая через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Функция является выпуклой вниз.

График функции $y = x + 1$ — это прямая линия, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$.

Схематически изобразив эти графики, мы можем проанализировать их пересечения. При $x = -1$, значение $x^8$ равно $(-1)^8 = 1$, а значение $x+1$ равно $-1+1=0$. То есть, кривая $y=x^8$ выше прямой $y=x+1$. При $x = 0$, $x^8 = 0$, а $x+1 = 1$. Теперь прямая выше кривой. Поскольку обе функции непрерывны, между $x=-1$ и $x=0$ должна быть как минимум одна точка пересечения.

Рассмотрим положительные значения $x$. При $x = 1$, $x^8 = 1^8 = 1$, а $x+1 = 1+1=2$. Прямая все еще выше кривой. При $x = 2$, $x^8 = 2^8 = 256$, а $x+1 = 2+1=3$. Теперь кривая значительно выше прямой. Так как функции непрерывны, между $x=1$ и $x=2$ должна быть еще одна точка пересечения.

Поскольку выпуклая функция, какой является $y = x^8$, может пересекаться с прямой линией не более чем в двух точках, мы нашли все возможные пересечения. Таким образом, графики пересекаются ровно в двух точках.

Ответ: 2 корня.

2) Для определения количества корней уравнения $x^5 = 3 - 2x$ построим графики функций $y = x^5$ и $y = 3 - 2x$.

График функции $y = x^5$ — это степенная функция с нечетным показателем. График проходит через начало координат, симметричен относительно него и является монотонно возрастающим на всей числовой оси. Проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.

График функции $y = 3 - 2x$ — это прямая линия, которая является монотонно убывающей. Она пересекает ось ординат в точке $(0, 3)$ и ось абсцисс в точке $(1.5, 0)$.

Монотонно возрастающая функция (как $y=x^5$) и монотонно убывающая функция (как $y=3-2x$) могут пересечься не более одного раза. Чтобы найти эту точку, можно подставить предполагаемые значения. При $x = 1$, левая часть уравнения равна $1^5 = 1$, и правая часть равна $3 - 2(1) = 1$. Значения совпали, следовательно, $x=1$ является корнем уравнения, и графики пересекаются в точке $(1, 1)$. Поскольку другого пересечения быть не может, уравнение имеет только один корень.

Ответ: 1 корень.

3) Для определения количества корней уравнения $x^4 = 0.5x - 2$ построим графики функций $y = x^4$ и $y = 0.5x - 2$.

График функции $y = x^4$ — это степенная функция с четным показателем, схожая с параболой. Она симметрична относительно оси $Oy$ и проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Важно, что значения функции $y=x^4$ всегда неотрицательны, то есть $y \ge 0$ для любого $x$.

График функции $y = 0.5x - 2$ — это прямая линия.

Чтобы графики пересеклись, в точке пересечения их значения $y$ должны совпадать. Так как $x^4 \ge 0$, то и правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $0.5x - 2 \ge 0$. Решим это неравенство: $0.5x \ge 2$, откуда $x \ge 4$. Это означает, что если точки пересечения и существуют, то они могут находиться только в области, где $x \ge 4$.

Сравним значения функций на границе этой области, при $x = 4$: $y = x^4 = 4^4 = 256$. $y = 0.5x - 2 = 0.5 \cdot 4 - 2 = 2 - 2 = 0$. При $x=4$ значение функции $y=x^4$ намного больше значения функции $y=0.5x-2$. При $x > 4$ функция $y=x^4$ растет гораздо быстрее, чем линейная функция $y=0.5x-2$. Это видно из сравнения их производных: $(x^4)' = 4x^3$ и $(0.5x-2)'=0.5$. Для $x \ge 4$, $4x^3 \ge 4 \cdot 4^3 = 256$, что намного больше $0.5$. Поскольку при $x=4$ кривая уже находится выше прямой и растет быстрее, графики никогда не пересекутся. Для $x < 4$ правая часть уравнения $0.5x-2$ отрицательна, в то время как левая $x^4$ неотрицательна, так что пересечений тоже нет. Следовательно, у графиков нет точек пересечения.

Ответ: 0 корней.