Номер 6.14, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.14. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^5$ на промежутке:

1) $[-3; 3];$

2) $[-2; 0];$

3) $[1; +\infty).$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^5$ на заданных промежутках, необходимо проанализировать ее поведение.

Функция $f(x) = x^5$ является степенной функцией с нечетным показателем степени. Такие функции являются строго возрастающими на всей своей области определения, то есть на множестве $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.

Для строго возрастающей функции на замкнутом отрезке $[a; b]$ наименьшее значение всегда достигается в левой границе отрезка (в точке $a$), а наибольшее — в правой (в точке $b$).

1) На промежутке $[-3; 3]$:

Это замкнутый отрезок. Поскольку функция $f(x) = x^5$ возрастает, ее наименьшее значение будет на левом конце промежутка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $\min_{[-3; 3]} f(x) = f(-3) = (-3)^5 = -243$.

Наибольшее значение: $\max_{[-3; 3]} f(x) = f(3) = 3^5 = 243$.

Ответ: наименьшее значение $-243$, наибольшее значение $243$.

2) На промежутке $[-2; 0]$:

Это также замкнутый отрезок. Применяем то же свойство возрастающей функции.

Наименьшее значение: $\min_{[-2; 0]} f(x) = f(-2) = (-2)^5 = -32$.

Наибольшее значение: $\max_{[-2; 0]} f(x) = f(0) = 0^5 = 0$.

Ответ: наименьшее значение $-32$, наибольшее значение $0$.

3) На промежутке $[1; +\infty)$:

Этот промежуток является лучом, ограниченным слева.

Наименьшее значение функция примет в самой левой точке промежутка, то есть при $x=1$.

Наименьшее значение: $f(1) = 1^5 = 1$.

Поскольку промежуток неограничен справа ( $x$ стремится к $+\infty$ ), значение функции $f(x)=x^5$ также будет неограниченно расти. Таким образом, функция не достигает своего максимального значения на этом промежутке.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшего значения не существует.