Номер 6.18, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.18. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} x^3, \text{ если } x < 0, \\ -\sqrt{x}, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} x^3, & \text{если } x < 0 \\ -\sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Для построения графика данной кусочно-заданной функции, необходимо построить график каждой из ее частей на соответствующем промежутке.

1. На интервале $x < 0$ функция имеет вид $f(x) = x^3$. Это левая часть графика кубической параболы. Вычислим значения в нескольких контрольных точках:

• при $x=-2$, $y = (-2)^3 = -8$;
• при $x=-1$, $y = (-1)^3 = -1$.

График этой части функции расположен в III координатной четверти и подходит к точке $(0,0)$ снизу слева.

2. На полуинтервале $x \ge 0$ функция имеет вид $f(x) = -\sqrt{x}$. Этот график можно получить, отразив график функции $y=\sqrt{x}$ симметрично относительно оси абсцисс (Ox). Вычислим значения в нескольких контрольных точках:

• при $x=0$, $y = -\sqrt{0} = 0$;
• при $x=1$, $y = -\sqrt{1} = -1$;
• при $x=4$, $y = -\sqrt{4} = -2$.

График этой части функции начинается в точке $(0,0)$ и продолжается в IV координатную четверть.

Объединив обе части, получаем итоговый график функции $f(x)$. Так как $\lim_{x\to 0^-} x^3 = 0$ и $f(0)=0$, функция является непрерывной в точке $x=0$. График представляет собой единую кривую, проходящую через начало координат.

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции

Проанализируем построенный график функции на предмет монотонности.

На промежутке $(-\infty, 0)$ мы видим, что с увеличением $x$ значения $f(x)$ также увеличиваются (график идет вверх слева направо, от $-\infty$ к $0$). Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

На промежутке $[0, \infty)$ мы видим, что с увеличением $x$ значения $f(x)$ уменьшаются (график идет вниз слева направо, от $0$ к $-\infty$). Следовательно, на этом промежутке функция убывает.

Точка $x=0$ является точкой перехода от возрастания к убыванию (точка локального максимума). Так как функция непрерывна в этой точке, мы можем включить ее в оба промежутка монотонности.

Таким образом:

• Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• Функция убывает на промежутке $[0, \infty)$.

Ответ: График функции представляет собой кривую, которая для $x<0$ является левой ветвью кубической параболы $y=x^3$, а для $x \ge 0$ — ветвью параболы $y=-\sqrt{x}$, расположенной в нижней полуплоскости. Промежуток возрастания функции: $(-\infty, 0]$. Промежуток убывания функции: $[0, \infty)$.