Страница 60 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.6. Функция задана формулой $f(x) = x^{-40}$. Сравните:

1) $f(6,2)$ и $f(5,5)$;

2) $f(-1,6)$ и $f(-1,7)$;

3) $f(24)$ и $f(-24)$;

4) $f(-8)$ и $f(6)$.

Для решения задачи проанализируем свойства функции $f(x) = x^{-40}$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^{40}}$. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$.

Рассмотрим ключевые свойства этой функции:

• Четность. Показатель степени (-40) является четным числом. Проверим функцию на четность: $f(-x) = (-x)^{-40} = \frac{1}{(-x)^{40}} = \frac{1}{x^{40}} = f(x)$. Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Это значит, что ее график симметричен относительно оси ординат, а значения функции для противоположных аргументов равны.
• Монотонность.
  • На промежутке $(0; +\infty)$ функция $y=x^{40}$ возрастает. Следовательно, обратная ей функция $f(x) = \frac{1}{x^{40}}$ убывает. Таким образом, для любых $x_1 > x_2 > 0$ выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.
  • На промежутке $(-\infty; 0)$ функция $f(x)$ возрастает. Это следует из ее четности и убывания на $(0; +\infty)$. Также можно рассуждать напрямую: если $x_1 < x_2 < 0$, то $|x_1| > |x_2| > 0$. Тогда $|x_1|^{40} > |x_2|^{40}$. Поскольку показатель степени четный, $x_1^{40} > x_2^{40}$, а для обратных величин $\frac{1}{x_1^{40}} < \frac{1}{x_2^{40}}$, то есть $f(x_1) < f(x_2)$.

Используя эти свойства, сравним заданные значения.

1) f(6,2) и f(5,5);

Аргументы $6,2$ и $5,5$ принадлежат промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция $f(x)$ убывает. Поскольку $6,2 > 5,5$, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $f(6,2) < f(5,5)$.
Ответ: $f(6,2) < f(5,5)$.

2) f(-1,6) и f(-1,7);

Аргументы $-1,6$ и $-1,7$ принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$, на котором функция $f(x)$ возрастает. Поскольку $-1,6 > -1,7$, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $f(-1,6) > f(-1,7)$.
Ответ: $f(-1,6) > f(-1,7)$.

3) f(24) и f(-24);

Так как функция $f(x) = x^{-40}$ является четной, то по определению $f(x) = f(-x)$ для любого $x$ из области определения. Для $x=24$ получаем $f(24) = f(-24)$.
Ответ: $f(24) = f(-24)$.

4) f(-8) и f(6).

Используем свойство четности функции: $f(-8) = f(8)$. Таким образом, задача сводится к сравнению $f(8)$ и $f(6)$. Аргументы $8$ и $6$ принадлежат промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция убывает. Поскольку $8 > 6$, то $f(8) < f(6)$. Заменяя $f(8)$ на равное ему $f(-8)$, получаем итоговое неравенство: $f(-8) < f(6)$.
Ответ: $f(-8) < f(6)$.

7.7. Найдите область определения функции:

1) $y = (x^{-1})^{-1}$;

2) $y = ((x - 2)^{-2})^{-2}$.

1) $y = (x^{-1})^{-1}$

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение, определяющее функцию, имеет смысл. Данная функция является сложной, поэтому мы должны учесть ограничения на каждом шаге вычисления.

Шаг 1: Вычисление внутреннего выражения $x^{-1}$.
Выражение $x^{-1}$ эквивалентно $\frac{1}{x}$. Оно определено только в том случае, если знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Шаг 2: Вычисление внешнего выражения $(\dots)^{-1}$.
Чтобы возвести выражение $x^{-1}$ в степень $-1$, необходимо, чтобы само это выражение не было равно нулю. Проверим, может ли $x^{-1}$ равняться нулю:
$x^{-1} = 0 \implies \frac{1}{x} = 0$.
Это уравнение не имеет решений, так как дробь равна нулю только тогда, когда ее числитель равен нулю, а он равен 1.

Таким образом, единственное ограничение, которое необходимо учесть, это $x \neq 0$.
Важно отметить, что хотя функцию можно упростить до $y = (x^{-1})^{-1} = x^{(-1)\cdot(-1)} = x$, область определения всегда находится для исходной, неупрощенной формы функции. В исходной форме при $x=0$ первое же действие ($x^{-1}$) невыполнимо.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $0$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) $y = ((x - 2)^{-2})^{-2}$

Для нахождения области определения этой сложной функции рассмотрим все возможные ограничения.

Шаг 1: Вычисление внутреннего выражения $(x - 2)^{-2}$.
Это выражение можно записать в виде дроби: $\frac{1}{(x-2)^2}$. Оно будет определено, если его знаменатель не обращается в ноль:
$(x - 2)^2 \neq 0$
$x - 2 \neq 0$
$x \neq 2$

Шаг 2: Вычисление внешнего выражения $(\dots)^{-2}$.
Чтобы возвести в степень $-2$ результат предыдущего шага, то есть выражение $(x - 2)^{-2}$, нужно, чтобы это выражение не было равно нулю. Проверим это условие:
$(x - 2)^{-2} = 0 \implies \frac{1}{(x-2)^2} = 0$.
Это уравнение не имеет решений, так как числитель дроби равен 1 и не может быть равен нулю.

Таким образом, единственным ограничением для области определения исходной функции является $x \neq 2$.
Хотя данное выражение можно упростить: $y = ((x - 2)^{-2})^{-2} = (x - 2)^{(-2)\cdot(-2)} = (x - 2)^4$, область определения функции $y = (x-2)^4$ — это все действительные числа, но мы должны исходить из первоначальной записи. В ней при $x=2$ становится невозможным вычисление выражения $(x-2)^{-2}$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $2$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

7.8. Найдите точки пересечения графиков функций:

1) $y = x$ и $y = x^{-3}$;

2) $y = x^{-2}$ и $y = \frac{1}{8}x$.

1) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = x$ и $y = x^{-3}$ необходимо приравнять выражения для $y$:

$x = x^{-3}$

Функция $y = x^{-3}$ может быть записана как $y = \frac{1}{x^3}$. При этом область определения функции исключает точку $x = 0$. Подставим это в уравнение:

$x = \frac{1}{x^3}$

Умножим обе части уравнения на $x^3$, так как мы уже установили, что $x \neq 0$:

$x \cdot x^3 = 1$

$x^4 = 1$

Это уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = 1$

$x_2 = -1$

Теперь найдем соответствующие значения ординат (y), подставив найденные значения $x$ в любую из исходных функций. Проще всего использовать $y = x$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -1$.

Таким образом, точки пересечения графиков имеют координаты $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.

Ответ: $(1; 1)$, $(-1; -1)$.

2) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = x^{-2}$ и $y = \frac{1}{8}x$ также приравняем их правые части:

$x^{-2} = \frac{1}{8}x$

Запишем $x^{-2}$ как $\frac{1}{x^2}$. Уравнение примет вид:

$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{8}x$

Область определения функции $y = x^{-2}$ исключает точку $x=0$. Умножим обе части уравнения на $8x^2$ (при $x \neq 0$):

$8 \cdot 1 = x \cdot x^2$

$8 = x^3$

Чтобы найти $x$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[3]{8}$

$x = 2$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 2$ в уравнение $y = \frac{1}{8}x$:

$y = \frac{1}{8} \cdot 2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Таким образом, точка пересечения графиков имеет координаты $(2; \frac{1}{4})$.

Ответ: $(2; \frac{1}{4})$.

7.9. Найдите точки пересечения графиков функций $y = x^{-4}$ и $y = \frac{1}{32}x$.

7.9. Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^{-4}$ и $y = \frac{1}{32}x$, необходимо приравнять их правые части, так как в точках пересечения значения $y$ у обеих функций совпадают.

Составим и решим уравнение:

$x^{-4} = \frac{1}{32}x$

По определению степени с отрицательным показателем, $x^{-4} = \frac{1}{x^4}$. Подставим это в уравнение:

$\frac{1}{x^4} = \frac{1}{32}x$

Область допустимых значений уравнения — все $x$, кроме $x=0$, так как на ноль делить нельзя.

Умножим обе части уравнения на $32x^4$, чтобы избавиться от дробей. Так как $x \neq 0$, эта операция является равносильной.

$32x^4 \cdot \frac{1}{x^4} = 32x^4 \cdot \frac{x}{32}$

$32 = x^4 \cdot x$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:

$32 = x^5$

Теперь нужно найти $x$, извлекая корень пятой степени из 32:

$x = \sqrt[5]{32}$

Так как $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$, то $x=2$.

Мы нашли абсциссу точки пересечения. Чтобы найти ординату, подставим полученное значение $x=2$ в уравнение любой из двух функций. Например, в $y = \frac{1}{32}x$:

$y = \frac{1}{32} \cdot 2 = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$

Для проверки можно подставить $x=2$ и во вторую функцию $y = x^{-4}$:

$y = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$

Результаты совпали. Таким образом, графики функций пересекаются в одной точке с координатами $(2; \frac{1}{16})$.

Ответ: $(2; \frac{1}{16})$

7.10. Постройте график функции:

1) $y = (x-2)^0$;

2) $y = (x^2 - 4x + 3)^0$.

1) Чтобы построить график функции $y = (x - 2)^0$, сначала определим ее область определения. Выражение $a^0$ имеет смысл только при $a \neq 0$. В данном случае основание степени равно $x - 2$.

Следовательно, должно выполняться условие $x - 2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Таким образом, область определения функции — все действительные числа, кроме $x = 2$.

Для любого $x$ из области определения, значение функции равно $y = (x - 2)^0 = 1$.

Графиком функции является прямая линия $y = 1$, из которой исключена ("выколота") точка, соответствующая $x = 2$. Координаты этой точки — $(2, 1)$.

Ответ: График функции — это прямая $y = 1$ с выколотой точкой $(2, 1)$.

2) Рассмотрим функцию $y = (x^2 - 4x + 3)^0$. Аналогично предыдущему пункту, функция определена, когда ее основание не равно нулю.

Найдем значения $x$, при которых основание $x^2 - 4x + 3$ обращается в ноль, решив квадратное уравнение:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения — это $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = 1$ и $x = 3$.

Для всех $x$ из области определения, значение функции равно $y = (x^2 - 4x + 3)^0 = 1$.

Графиком функции является прямая линия $y = 1$, из которой исключены ("выколоты") две точки, соответствующие $x = 1$ и $x = 3$. Координаты этих точек — $(1, 1)$ и $(3, 1)$.

Ответ: График функции — это прямая $y = 1$ с выколотыми точками $(1, 1)$ и $(3, 1)$.

7.11. Постройте график уравнения:

1) $(y+2)^0 = x-2$;

2) $(y-2)^0 = (x+1)^0$.

1) $(y + 2)^0 = x - 2$

Выражение вида $a^0$ определено и равно 1 только при условии, что его основание $a$ не равно нулю. Поэтому для данного уравнения необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ: $y + 2 \neq 0$, откуда следует, что $y \neq -2$.

При выполнении этого условия левая часть уравнения $(y + 2)^0$ равна 1. Подставим это значение в исходное уравнение:

$1 = x - 2$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$x = 1 + 2$

$x = 3$

Таким образом, график исходного уравнения — это множество всех точек на координатной плоскости, для которых одновременно выполняются два условия: $x = 3$ и $y \neq -2$.

Уравнение $x = 3$ задает вертикальную прямую, параллельную оси ординат. Условие $y \neq -2$ означает, что из этой прямой нужно исключить точку, у которой ордината равна -2, то есть точку с координатами $(3; -2)$.

Ответ: Графиком уравнения является прямая $x = 3$ с выколотой точкой $(3; -2)$.

2) $(y - 2)^0 = (x + 1)^0$

Как и в предыдущем пункте, выражения в левой и правой частях уравнения определены и равны 1 только в том случае, если их основания не равны нулю. Запишем область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения.

ОДЗ определяется системой неравенств:

$\begin{cases} y - 2 \neq 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases} y \neq 2 \\ x \neq -1 \end{cases}$

Для всех $x$ и $y$, удовлетворяющих этим условиям, исходное уравнение принимает вид $1 = 1$. Это тождество, которое является верным для любых значений переменных из ОДЗ.

Следовательно, графиком уравнения является множество всех точек координатной плоскости, за исключением тех точек, для которых $x = -1$ или $y = 2$. Эти условия задают две прямые: вертикальную прямую $x = -1$ и горизонтальную прямую $y = 2$.

Ответ: Графиком уравнения является вся координатная плоскость, за исключением прямых $x = -1$ и $y = 2$.

7.12. Постройте график функции:

1) $y = x^{-2} + 2$; 3) $y = -\frac{1}{2}x^{-2}$; 5) $y = (x - 1)^{-3}$;

2) $y = (x - 3)^{-2}$; 4) $y = x^{-3} - 1$; 6) $y = 3x^{-3}$.

График функции $y = x^{-2} + 2$, или $y = \frac{1}{x^2} + 2$, строится на основе графика базовой функции $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Для построения необходимо выполнить преобразование: сдвиг (параллельный перенос) графика функции $y = \frac{1}{x^2}$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (OY).

Свойства базовой функции $y = \frac{1}{x^2}$:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
- Функция четная, график симметричен относительно оси OY.
- Асимптоты: вертикальная $x=0$ (ось OY) и горизонтальная $y=0$ (ось OX).
- Ключевые точки: $(-1; 1)$, $(1; 1)$, $(-2; 1/4)$, $(2; 1/4)$.

Построение графика $y = \frac{1}{x^2} + 2$:
- График $y = \frac{1}{x^2}$ сдвигается на 2 единицы вверх.
- Вертикальная асимптота $x=0$ не изменяется.
- Горизонтальная асимптота смещается вверх на 2 единицы и становится прямой $y=2$.
- Ключевые точки смещаются вверх: $(-1; 3)$, $(1; 3)$, $(-2; 2.25)$, $(2; 2.25)$.
- Область значений новой функции: $E(y) = (2; +\infty)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = x^{-2} + 2$ необходимо график функции $y = x^{-2}$ сдвинуть на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Горизонтальной асимптотой является прямая $y=2$, вертикальной асимптотой — прямая $x=0$.

График функции $y = (x - 3)^{-2}$, или $y = \frac{1}{(x-3)^2}$, строится на основе графика базовой функции $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Для построения необходимо выполнить преобразование: сдвиг графика функции $y = \frac{1}{x^2}$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс (OX).

Построение графика $y = \frac{1}{(x-3)^2}$:
- График $y = \frac{1}{x^2}$ сдвигается на 3 единицы вправо.
- Вертикальная асимптота смещается вправо на 3 единицы и становится прямой $x=3$.
- Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменяется.
- Ключевые точки смещаются вправо: точка $(-1; 1)$ переходит в $(-1+3; 1) = (2; 1)$, точка $(1; 1)$ переходит в $(1+3; 1) = (4; 1)$.
- Ось симметрии смещается и становится прямой $x=3$.
- Область определения новой функции: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = (x - 3)^{-2}$ необходимо график функции $y = x^{-2}$ сдвинуть на 3 единицы вправо вдоль оси OX. Вертикальной асимптотой является прямая $x=3$, горизонтальной асимптотой — прямая $y=0$.

График функции $y = -\frac{1}{2}x^{-2}$, или $y = -\frac{1}{2x^2}$, строится на основе графика базовой функции $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Для построения необходимо выполнить два преобразования:
1. Сжатие графика $y = \frac{1}{x^2}$ к оси OX в 2 раза (умножение ординат всех точек на $\frac{1}{2}$). Получим график $y = \frac{1}{2x^2}$.
2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси OX. Получим искомый график $y = -\frac{1}{2x^2}$.

Построение графика $y = -\frac{1}{2x^2}$:
- График $y = \frac{1}{x^2}$ проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.
- После сжатия (график $y = \frac{1}{2x^2}$) точки переходят в $(1; 1/2)$ и $(-1; 1/2)$.
- После отражения (график $y = -\frac{1}{2x^2}$) точки переходят в $(1; -1/2)$ и $(-1; -1/2)$. Ветви графика направлены вниз.
- Асимптоты $x=0$ и $y=0$ не изменяются.
- Область значений новой функции: $E(y) = (-\infty; 0)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}x^{-2}$ необходимо график $y=x^{-2}$ сжать к оси OX в 2 раза, а затем отразить симметрично относительно оси OX. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$. Ветви графика направлены вниз.

График функции $y = x^{-3} - 1$, или $y = \frac{1}{x^3} - 1$, строится на основе графика базовой функции $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$.

Для построения необходимо выполнить преобразование: сдвиг графика функции $y = \frac{1}{x^3}$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

Свойства базовой функции $y = \frac{1}{x^3}$:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат $(0;0)$.
- Асимптоты: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$.
- Ключевые точки: $(1; 1)$, $(-1; -1)$.

Построение графика $y = \frac{1}{x^3} - 1$:
- График $y = \frac{1}{x^3}$ сдвигается на 1 единицу вниз.
- Вертикальная асимптота $x=0$ не изменяется.
- Горизонтальная асимптота смещается вниз на 1 единицу и становится прямой $y=-1$.
- Ключевые точки смещаются вниз: $(1; 1-1) = (1; 0)$, $(-1; -1-1) = (-1; -2)$.
- Центр симметрии смещается в точку $(0; -1)$.
- Область значений новой функции: $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = x^{-3} - 1$ необходимо график функции $y = x^{-3}$ сдвинуть на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Горизонтальной асимптотой является прямая $y=-1$, вертикальной асимптотой — прямая $x=0$.

График функции $y = (x - 1)^{-3}$, или $y = \frac{1}{(x-1)^3}$, строится на основе графика базовой функции $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$.

Для построения необходимо выполнить преобразование: сдвиг графика функции $y = \frac{1}{x^3}$ на 1 единицу вправо вдоль оси OX.

Построение графика $y = \frac{1}{(x-1)^3}$:
- График $y = \frac{1}{x^3}$ сдвигается на 1 единицу вправо.
- Вертикальная асимптота смещается вправо на 1 единицу и становится прямой $x=1$.
- Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменяется.
- Ключевые точки смещаются вправо: $(1+1; 1) = (2; 1)$, $(-1+1; -1) = (0; -1)$.
- Центр симметрии смещается в точку $(1; 0)$.
- Область определения новой функции: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = (x - 1)^{-3}$ необходимо график функции $y = x^{-3}$ сдвинуть на 1 единицу вправо вдоль оси OX. Вертикальной асимптотой является прямая $x=1$, горизонтальной асимптотой — прямая $y=0$.

График функции $y = 3x^{-3}$, или $y = \frac{3}{x^3}$, строится на основе графика базовой функции $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$.

Для построения необходимо выполнить преобразование: растяжение графика функции $y = \frac{1}{x^3}$ от оси OX в 3 раза (вдоль оси OY).

Построение графика $y = \frac{3}{x^3}$:
- Каждая ордината (координата y) точки графика $y = \frac{1}{x^3}$ умножается на 3.
- Ключевые точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$ базовой функции переходят в точки $(1; 3)$ и $(-1; -3)$.
- Асимптоты $x=0$ и $y=0$ не изменяются.
- График по-прежнему симметричен относительно начала координат.

Ответ: Для построения графика функции $y = 3x^{-3}$ необходимо график функции $y=x^{-3}$ растянуть от оси OX в 3 раза. Асимптоты $x=0$ и $y=0$ сохраняются.

7.13. Постройте график функции:

1) $y = x^{-5} - 3$;

2) $y = 4x^{-5}$;

3) $y = (x + 1)^{-4}$;

4) $y = -x^{-4}$.

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод геометрических преобразований графиков элементарных степенных функций.

Построение графика этой функции основано на преобразовании графика базовой функции $y_0 = x^{-5}$, которую можно также записать как $y_0 = \frac{1}{x^5}$.

Сначала рассмотрим свойства и график базовой функции $y_0 = x^{-5}$. Это степенная функция с нечетным отрицательным показателем. Ее область определения: $D(y_0) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция является нечетной, так как $y_0(-x) = (-x)^{-5} = -x^{-5} = -y_0(x)$, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Ветви графика расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами: вертикальная асимптота $x=0$ (ось $Oy$) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось $Ox$). График проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Чтобы получить график функции $y = x^{-5} - 3$ из графика $y_0 = x^{-5}$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика базовой функции на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

В результате этого преобразования:

• Вертикальная асимптота $x=0$ не изменяется.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 3 единицы вниз и становится прямой $y=-3$.
• Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ смещается в точку $(x_0, y_0 - 3)$. Например, точка $(1, 1)$ переходит в $(1, -2)$, а точка $(-1, -1)$ переходит в $(-1, -4)$.

Таким образом, для построения искомого графика сначала нужно построить асимптоты $x=0$ и $y=-3$. Затем, относительно этих асимптот, как в новой системе координат, построить график функции $y' = (x')^{-5}$, где ветви проходят через точки $(1, -2)$ и $(-1, -4)$ относительно исходной системы координат.

Ответ: График функции $y=x^{-5}-3$ получается из графика базовой функции $y=x^{-5}$ сдвигом на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Асимптоты графика: $x=0$ и $y=-3$.

Для построения графика функции $y = 4x^{-5}$ мы снова используем в качестве базовой функцию $y_0 = x^{-5}$.

Свойства базовой функции $y_0 = x^{-5}$ описаны в предыдущем пункте.

Чтобы получить график функции $y = 4x^{-5}$ из графика $y_0 = x^{-5}$, необходимо выполнить растяжение графика базовой функции от оси $Ox$ (вдоль оси $Oy$) в 4 раза.

В результате этого преобразования:

• Асимптоты $x=0$ и $y=0$ не изменяются.
• Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, 4y_0)$. Ордината каждой точки увеличивается в 4 раза. Например, точка $(1, 1)$ переходит в $(1, 4)$, а точка $(-1, -1)$ переходит в $(-1, -4)$.
• График становится "круче", то есть быстрее стремится к бесконечности при приближении $x$ к нулю, и быстрее стремится к нулю при устремлении $x$ к бесконечности.

Для построения графика рисуем асимптоты $x=0$ и $y=0$. Затем отмечаем новые ключевые точки, например, $(1, 4)$ и $(-1, -4)$, и проводим через них ветви графика, сохраняя симметрию относительно начала координат и приближаясь к асимптотам.

Ответ: График функции $y=4x^{-5}$ получается из графика базовой функции $y=x^{-5}$ растяжением в 4 раза вдоль оси $Oy$. Асимптоты графика: $x=0$ и $y=0$.

Построение этого графика основано на преобразовании базовой функции $y_0 = x^{-4}$, или $y_0 = \frac{1}{x^4}$.

Рассмотрим свойства функции $y_0 = x^{-4}$. Это степенная функция с четным отрицательным показателем. Ее область определения: $D(y_0) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция является четной, так как $y_0(-x) = (-x)^{-4} = x^{-4} = y_0(x)$, ее график симметричен относительно оси $Oy$. Так как $x^4 > 0$ для всех $x \neq 0$, то $y_0 > 0$. Ветви графика расположены в I и II координатных четвертях. Асимптоты: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$. График проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

Чтобы получить график функции $y = (x+1)^{-4}$ из графика $y_0 = x^{-4}$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика базовой функции на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$.

В результате этого преобразования:

• Вертикальная асимптота $x=0$ смещается на 1 единицу влево и становится прямой $x=-1$.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменяется.
• Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ смещается в точку $(x_0 - 1, y_0)$. Например, точка $(1, 1)$ переходит в $(0, 1)$, а точка $(-1, 1)$ переходит в $(-2, 1)$.
• Осью симметрии графика становится прямая $x=-1$.

Для построения рисуем асимптоты $x=-1$ и $y=0$. Затем строим ветви графика, проходящие через новые ключевые точки $(0, 1)$ и $(-2, 1)$, симметрично относительно прямой $x=-1$.

Ответ: График функции $y=(x+1)^{-4}$ получается из графика базовой функции $y=x^{-4}$ сдвигом на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$. Асимптоты графика: $x=-1$ и $y=0$.

Для построения графика функции $y = -x^{-4}$ мы снова используем в качестве базовой функцию $y_0 = x^{-4}$.

Свойства базовой функции $y_0 = x^{-4}$ описаны в предыдущем пункте. Ее график расположен в верхней полуплоскости.

Чтобы получить график функции $y = -x^{-4}$ из графика $y_0 = x^{-4}$, необходимо выполнить симметричное отражение графика базовой функции относительно оси $Ox$.

В результате этого преобразования:

• Асимптоты $x=0$ и $y=0$ не изменяются.
• Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, -y_0)$. Ордината каждой точки меняет знак. Например, точка $(1, 1)$ переходит в $(1, -1)$, а точка $(-1, 1)$ переходит в $(-1, -1)$.
• График становится расположенным в нижней полуплоскости (в III и IV координатных четвертях).
• Функция остается четной, и ее график симметричен относительно оси $Oy$.

Для построения графика рисуем асимптоты $x=0$ и $y=0$. Затем отмечаем новые ключевые точки $(1, -1)$ и $(-1, -1)$ и проводим через них ветви графика, симметрично относительно оси $Oy$ и приближаясь к асимптотам.

Ответ: График функции $y=-x^{-4}$ получается из графика базовой функции $y=x^{-4}$ отражением относительно оси $Ox$. Асимптоты графика: $x=0$ и $y=0$.

7.14. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^{-6}$ на промежутке:

1) $\left[ \frac{1}{2}; 1 \right];$

2) $\left[-1; -\frac{1}{2}\right];$

3) $\left[1; +\infty\right).$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^{-6}$, которую можно записать как $f(x) = \frac{1}{x^6}$, проанализируем её свойства.

Свойства функции:

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$.
• Четность: Функция является четной, так как $f(-x) = (-x)^{-6} = \frac{1}{(-x)^6} = \frac{1}{x^6} = f(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Монотонность: Для определения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции:
  $f'(x) = (x^{-6})' = -6x^{-7} = -\frac{6}{x^7}$.
  - Если $x > 0$, то $x^7 > 0$, и $f'(x) < 0$. Следовательно, функция монотонно убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
  - Если $x < 0$, то $x^7 < 0$, и $f'(x) > 0$. Следовательно, функция монотонно возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$.

Так как производная нигде не равна нулю, у функции нет стационарных точек (точек локального экстремума). Наибольшее и наименьшее значения на замкнутых отрезках будут достигаться на их концах.

1) $[\frac{1}{2}; 1]$

Данный отрезок полностью находится в промежутке $(0; +\infty)$, где функция $f(x)$ монотонно убывает. Это значит, что наибольшее значение достигается в левой точке отрезка, а наименьшее — в правой.
Вычисляем значения на концах отрезка:
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{-6} = (2^{-1})^{-6} = 2^6 = 64$.
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(1) = 1^{-6} = 1$.
Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[\frac{1}{2}; 1]$ равно 64, а наименьшее значение равно 1.

2) $[-1; -\frac{1}{2}]$

Данный отрезок полностью находится в промежутке $(-\infty; 0)$, где функция $f(x)$ монотонно возрастает. Это значит, что наименьшее значение достигается в левой точке отрезка, а наибольшее — в правой.
Вычисляем значения на концах отрезка:
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(-1) = (-1)^{-6} = \frac{1}{(-1)^6} = \frac{1}{1} = 1$.
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^{-6} = \frac{1}{(-\frac{1}{2})^6} = \frac{1}{\frac{1}{64}} = 64$.
Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[-1; -\frac{1}{2}]$ равно 64, а наименьшее значение равно 1.

3) $[1; +\infty)$

Данный промежуток полностью находится в области $(0; +\infty)$, где функция $f(x)$ монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение она принимает в самой левой точке промежутка, то есть при $x=1$.
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(1) = 1^{-6} = 1$.
Для нахождения наименьшего значения рассмотрим поведение функции при $x \to +\infty$:
$\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x^6} = 0$.
Функция стремится к нулю, но никогда не достигает этого значения ни в одной точке из промежутка $[1; +\infty)$. Таким образом, наименьшего значения на данном промежутке не существует.
Ответ: наибольшее значение функции на промежутке $[1; +\infty)$ равно 1, а наименьшего значения не существует.

7.15. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^{-3}$ на промежутке:

1) $[\frac{1}{3}; 2];$

2) $[-2; -1];$

3) $(-\infty; -3].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^{-3}$ на заданных промежутках, сначала проанализируем саму функцию. Функция $f(x) = x^{-3}$ может быть записана как $f(x) = \frac{1}{x^3}$. Область определения этой функции: все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$. Чтобы определить характер монотонности функции, найдем ее производную: $f'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.

Поскольку $x^4$ всегда положительно для любого $x \neq 0$, то производная $f'(x) = -\frac{3}{x^4}$ всегда отрицательна на всей области определения функции. Это означает, что функция $f(x) = x^{-3}$ является строго убывающей на каждом из интервалов своей непрерывности: $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$. Это свойство мы будем использовать для решения задачи на каждом из промежутков.

1) Промежуток $[\frac{1}{3}; 2]$.
Это замкнутый отрезок, который полностью лежит в интервале $(0; \infty)$, где функция непрерывна и строго убывает. Для убывающей функции на отрезке $[a; b]$ наибольшее значение достигается в левой граничной точке ($x=a$), а наименьшее — в правой ($x=b$).
В нашем случае $a = \frac{1}{3}$ и $b = 2$.
Вычисляем значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $f_{наиб.} = f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^{-3} = \frac{1}{(\frac{1}{3})^3} = \frac{1}{\frac{1}{27}} = 27$.
Наименьшее значение: $f_{наим.} = f(2) = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $27$, наименьшее значение равно $\frac{1}{8}$.

2) Промежуток $[-2; -1]$.
Это также замкнутый отрезок, но он полностью лежит в интервале $(-\infty; 0)$, где функция также непрерывна и строго убывает.
Аналогично предыдущему пункту, наибольшее значение будет в левой граничной точке $x = -2$, а наименьшее — в правой $x = -1$.
Вычисляем значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $f_{наиб.} = f(-2) = (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$.
Наименьшее значение: $f_{наим.} = f(-1) = (-1)^{-3} = \frac{1}{(-1)^3} = -1$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $-\frac{1}{8}$, наименьшее значение равно $-1$.

3) Промежуток $(-\infty; -3]$.
Этот промежуток является лучом и лежит в интервале $(-\infty; 0)$, где функция строго убывает.
Так как функция убывает, наименьшее значение она будет принимать при наибольшем значении аргумента $x$ из данного промежутка. Наибольшее значение $x$ на промежутке $(-\infty; -3]$ равно $-3$.
Наименьшее значение: $f_{наим.} = f(-3) = (-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = -\frac{1}{27}$.
Для нахождения наибольшего значения рассмотрим поведение функции при $x \to -\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^3} = 0$.
На промежутке $(-\infty; -3]$ значения функции изменяются в пределах $[-\frac{1}{27}, 0)$. Функция стремится к нулю, но никогда его не достигает. Таким образом, у функции на данном промежутке есть точная верхняя грань (supremum), равная 0, но нет наибольшего значения (максимума), так как нет такого значения $x_0$ в промежутке, для которого $f(x_0)=0$.
Ответ: наименьшее значение функции равно $-\frac{1}{27}$, наибольшего значения не существует.

7.16. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = x^{-6}, \\ y = 4 - x^2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^{-3}, \\ y = x^3 + 3. \end{cases}$

1) Чтобы определить количество решений системы уравнений графически, необходимо построить графики функций, входящих в систему, и найти количество точек их пересечения.

Система уравнений: $ \begin{cases} y = x^{-6} \\ y = 4 - x^2 \end{cases} $

Рассмотрим первую функцию: $y = x^{-6}$ или $y = \frac{1}{x^6}$.
Это степенная функция с отрицательным четным показателем.

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$.
• Так как показатель степени $6$ — четное число, функция является четной ($y(-x) = y(x)$). Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Поскольку $x^6 \ge 0$ для всех $x$, то $y = \frac{1}{x^6} > 0$. График функции полностью расположен в I и II координатных четвертях.
• Ось OX ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, а ось OY ($x=0$) — вертикальной асимптотой.
• При $x \to 0$, $y \to +\infty$. При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.
• Контрольные точки: $(\pm 1, 1)$.

Рассмотрим вторую функцию: $y = 4 - x^2$.
Это квадратичная функция, ее график — парабола.

• Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$).
• Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2(-1)} = 0$. Ордината вершины $y_0 = 4 - 0^2 = 4$. Таким образом, вершина находится в точке $(0, 4)$.
• Функция является четной, ее график симметричен относительно оси OY.
• Точки пересечения с осью OX (нули функции): $4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Построим эскизы графиков в одной системе координат.
Оба графика симметричны относительно оси OY, поэтому достаточно рассмотреть их поведение при $x > 0$ и затем отразить результат на область $x < 0$.
При $x \to 0^+$, график $y = \frac{1}{x^6}$ уходит в $+\infty$, а парабола $y = 4-x^2$ приближается к своей вершине в точке $(0, 4)$. Следовательно, вблизи оси OY график $y = \frac{1}{x^6}$ лежит выше параболы.
В точке $x=1$, значение первой функции $y = \frac{1}{1^6} = 1$, а второй $y = 4 - 1^2 = 3$. Парабола лежит выше.
Поскольку при переходе от $x \to 0^+$ к $x=1$ графики поменялись местами, они должны пересечься в некоторой точке на интервале $(0, 1)$.
В точке $x=2$, значение первой функции $y = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$, а второй $y = 4 - 2^2 = 0$. Теперь график $y = \frac{1}{x^6}$ снова лежит выше параболы.
Поскольку при переходе от $x=1$ к $x=2$ графики снова поменялись местами, они должны пересечься в некоторой точке на интервале $(1, 2)$.
Таким образом, в первой координатной четверти ($x > 0$) есть две точки пересечения. В силу симметрии обоих графиков относительно оси OY, во второй координатной четверти ($x < 0$) также будут две точки пересечения.
Общее количество точек пересечения равно 4.

Ответ: 4 решения.

2) Чтобы определить количество решений системы уравнений графически, необходимо построить графики функций, входящих в систему, и найти количество точек их пересечения.

Система уравнений: $ \begin{cases} y = x^{-3} \\ y = x^3 + 3 \end{cases} $

Рассмотрим первую функцию: $y = x^{-3}$ или $y = \frac{1}{x^3}$.
Это степенная функция с отрицательным нечетным показателем (обратная пропорциональность), ее график — гипербола.

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$.
• Так как показатель степени $3$ — нечетное число, функция является нечетной ($y(-x) = -y(x)$). Ее график симметричен относительно начала координат.
• График функции расположен в I и III координатных четвертях.
• Ось OX ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, а ось OY ($x=0$) — вертикальной асимптотой.
• При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$. При $x \to 0^-$, $y \to -\infty$.
• Контрольные точки: $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Рассмотрим вторую функцию: $y = x^3 + 3$.
Это кубическая функция, ее график — кубическая парабола, смещенная на 3 единицы вверх вдоль оси OY.

• Область определения: все действительные числа.
• Функция является возрастающей на всей области определения.
• Точка пересечения с осью OY: $(0, 3)$.
• Точка пересечения с осью OX: $x^3 + 3 = 0 \Rightarrow x^3 = -3 \Rightarrow x = -\sqrt[3]{3} \approx -1.44$. Точка: $(-\sqrt[3]{3}, 0)$.

Построим эскизы графиков в одной системе координат.
Проанализируем поведение графиков.
Для $x > 0$ (I четверть): График $y = \frac{1}{x^3}$ убывает от $+\infty$ до $0$. График $y = x^3 + 3$ возрастает от $3$ (при $x \to 0^+$) до $+\infty$. Поскольку один график начинается "сверху" и убывает, а другой начинается "снизу" и возрастает, они обязаны пересечься ровно один раз.
Для $x < 0$ (III и II четверти): График $y = \frac{1}{x^3}$ расположен в III четверти и убывает от $0$ до $-\infty$. График $y = x^3 + 3$ возрастает от $-\infty$ до $3$ (при $x \to 0^-$), пересекая ось OX в точке $x = -\sqrt[3]{3}$. Поскольку один график приходит из $-\infty$ и возрастает, а другой убывает к $-\infty$, они также обязаны пересечься ровно один раз.
Таким образом, существует одна точка пересечения при $x > 0$ и одна точка пересечения при $x < 0$.
Общее количество точек пересечения равно 2.

Ответ: 2 решения.

7.17. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = x^{-3}, \\ y = \frac{1}{8}x^2 - 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^{-2}, \\ y = x^2 - 2. \end{cases}$

1) Чтобы графически определить количество решений системы уравнений, нужно построить графики функций $y = x^{-3}$ и $y = \frac{1}{8}x^2 - 4$ в одной системе координат и найти количество точек их пересечения.

Первая функция $y = x^{-3}$, или $y = \frac{1}{x^3}$. Это степенная функция с нечетным отрицательным показателем. Ее график расположен в I и III координатных четвертях и симметричен относительно начала координат. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой, а ось $Oy$ — вертикальной асимптотой.

Вторая функция $y = \frac{1}{8}x^2 - 4$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($\frac{1}{8} > 0$), ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с координатами $x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (1/8)} = 0$, $y_0 = \frac{1}{8}(0)^2 - 4 = -4$. То есть, вершина в точке $(0, -4)$.

Рассмотрим пересечение графиков:

• При $x > 0$ (в I и IV четвертях): График $y = x^{-3}$ находится в I четверти, убывая от $+\infty$ до $0$. График параболы $y = \frac{1}{8}x^2 - 4$ возрастает от своей вершины $(0, -4)$, пересекая ось $Ox$ и уходя в I четверть. Так как парабола начинается ниже графика $y=x^{-3}$ (который уходит в $+\infty$ при $x \to 0^+$) и при больших $x$ растет до $+\infty$, а график $y=x^{-3}$ стремится к 0, графики обязательно пересекутся один раз в I четверти.
• При $x < 0$ (во II и III четвертях): График $y = x^{-3}$ находится в III четверти, возрастая от $-\infty$ до $0$. График параболы $y = \frac{1}{8}x^2 - 4$ убывает до своей вершины, находясь во II и III четвертях. Вблизи оси $Oy$ (при $x \to 0^-$) парабола находится в точке $(0, -4)$, а график $y = x^{-3}$ уходит в $-\infty$, то есть парабола выше. При $x \to -\infty$ парабола уходит в $+\infty$, а график $y = x^{-3}$ стремится к $0$, то есть парабола снова выше. Однако, если взять промежуточную точку, например $x=-2$, то для параболы $y = \frac{1}{8}(-2)^2 - 4 = 0.5 - 4 = -3.5$, а для $y=x^{-3}$ имеем $y = (-2)^{-3} = -1/8 = -0.125$. В этой точке парабола ниже. Это означает, что графики пересекаются дважды: один раз на интервале $(-2, 0)$ и второй раз на интервале $(-\infty, -2)$.

Таким образом, всего существует $1 + 2 = 3$ точки пересечения.

Ответ: 3.

2) Чтобы графически определить количество решений системы уравнений, нужно построить графики функций $y = x^{-2}$ и $y = x^2 - 2$ в одной системе координат и найти количество точек их пересечения.

Первая функция $y = x^{-2}$, или $y = \frac{1}{x^2}$. Это степенная функция с четным отрицательным показателем. Ее график расположен в I и II координатных четвертях (так как $y > 0$ для всех $x \neq 0$) и симметричен относительно оси $Oy$. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой, а ось $Oy$ — вертикальной асимптотой.

Вторая функция $y = x^2 - 2$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$. График также симметричен относительно оси $Oy$.

Рассмотрим пересечение графиков. Поскольку обе функции четные, их графики симметричны относительно оси $Oy$. Поэтому достаточно найти количество решений для $x > 0$ и умножить его на 2.

• При $x > 0$: График $y = x^{-2}$ находится в I четверти и убывает от $+\infty$ до $0$. График параболы $y = x^2 - 2$ возрастает от своей вершины $(0, -2)$, пересекает ось $Ox$ в точке $x = \sqrt{2}$ и уходит в $+\infty$. При $x \to 0^+$ график $y=x^{-2}$ уходит в $+\infty$, а парабола приближается к $-2$. При $x=\sqrt{2}$, парабола имеет значение $y=0$, а график $y=x^{-2}$ имеет значение $y=1/2$. При $x=2$ парабола имеет значение $y=2$, а график $y=x^{-2}$ - значение $y=1/4$. Так как в одной точке парабола ниже, а в другой — выше, и обе функции непрерывны для $x > 0$, они должны пересечься ровно один раз.
• В силу симметрии относительно оси $Oy$, для $x < 0$ также будет одна точка пересечения.

Таким образом, всего существует $1 + 1 = 2$ точки пересечения.

Ответ: 2.

7.18. Чётным или нечётным является натуральное число $n$ в показателе степени функции $f(x) = x^{-n}$, если:

1) $f(-2) > f(-1)$;

2) $f(-2) < f(1)$;

3) $f(-2) < f(-1)$;

4) $f(2) < f(1)?$

Для решения задачи проанализируем свойства функции $f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ в зависимости от чётности натурального числа $n$.

Случай 1: $n$ — чётное число.

В этом случае $n = 2k$ для некоторого натурального $k$. Функция принимает вид $f(x) = \frac{1}{x^{2k}}$.

• Функция является чётной, так как $f(-x) = \frac{1}{(-x)^{2k}} = \frac{1}{x^{2k}} = f(x)$.
• Функция положительна для всех $x \neq 0$.
• На промежутке $(-\infty, 0)$ функция возрастает.
• На промежутке $(0, \infty)$ функция убывает.

Случай 2: $n$ — нечётное число.

В этом случае $n = 2k-1$ для некоторого натурального $k$. Функция принимает вид $f(x) = \frac{1}{x^{2k-1}}$.

• Функция является нечётной, так как $f(-x) = \frac{1}{(-x)^{2k-1}} = \frac{1}{-x^{2k-1}} = -f(x)$.
• Функция отрицательна при $x < 0$ и положительна при $x > 0$.
• Функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$.

Теперь рассмотрим каждое условие.

1) $f(-2) > f(-1)$

Аргументы $-2$ и $-1$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0)$.

Если $n$ — чётное, функция на этом промежутке возрастает. Поскольку $-2 < -1$, должно выполняться неравенство $f(-2) < f(-1)$. Это противоречит условию $f(-2) > f(-1)$.

Если $n$ — нечётное, функция на этом промежутке убывает. Поскольку $-2 < -1$, должно выполняться неравенство $f(-2) > f(-1)$. Это соответствует условию задачи.

Следовательно, число $n$ должно быть нечётным.

Ответ: $n$ — нечётное число.

2) $f(-2) < f(1)$

Вычислим значения функции: $f(-2) = (-2)^{-n} = \frac{1}{(-2)^n}$ и $f(1) = 1^{-n} = 1$.

Неравенство имеет вид $\frac{1}{(-2)^n} < 1$.

Если $n$ — чётное, то $(-2)^n = 2^n$. Неравенство $\frac{1}{2^n} < 1$ верно для любого натурального $n$.

Если $n$ — нечётное, то $(-2)^n = -2^n$. Неравенство $-\frac{1}{2^n} < 1$ также верно, так как отрицательное число всегда меньше положительного.

Поскольку неравенство выполняется для любого натурального $n$ (и чётного, и нечётного), определить чётность $n$ по этому условию невозможно.

Ответ: На основании этого условия невозможно определить чётность $n$.

3) $f(-2) < f(-1)$

Аргументы $-2$ и $-1$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0)$.

Если $n$ — чётное, функция на этом промежутке возрастает. Поскольку $-2 < -1$, выполняется неравенство $f(-2) < f(-1)$, что соответствует условию.

Если $n$ — нечётное, функция на этом промежутке убывает. Поскольку $-2 < -1$, должно выполняться неравенство $f(-2) > f(-1)$. Это противоречит условию $f(-2) < f(-1)$.

Следовательно, число $n$ должно быть чётным.

Ответ: $n$ — чётное число.

4) $f(2) < f(1)$

Аргументы $2$ и $1$ принадлежат промежутку $(0, \infty)$. На этом промежутке функция $f(x)$ убывает при любом натуральном $n$ (как чётном, так и нечётном).

Поскольку $1 < 2$, для убывающей функции всегда будет выполняться неравенство $f(1) > f(2)$, или $f(2) < f(1)$.

Проверим напрямую: $f(2) = 2^{-n} = \frac{1}{2^n}$, $f(1) = 1^{-n} = 1$. Неравенство $\frac{1}{2^n} < 1$ верно для любого натурального $n$.

Поскольку неравенство выполняется для любого натурального $n$, определить его чётность по этому условию невозможно.

Ответ: На основании этого условия невозможно определить чётность $n$.