Номер 7.16, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.16. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = x^{-6}, \\ y = 4 - x^2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^{-3}, \\ y = x^3 + 3. \end{cases}$

1) Чтобы определить количество решений системы уравнений графически, необходимо построить графики функций, входящих в систему, и найти количество точек их пересечения.

Система уравнений: $ \begin{cases} y = x^{-6} \\ y = 4 - x^2 \end{cases} $

Рассмотрим первую функцию: $y = x^{-6}$ или $y = \frac{1}{x^6}$.
Это степенная функция с отрицательным четным показателем.

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$.
• Так как показатель степени $6$ — четное число, функция является четной ($y(-x) = y(x)$). Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Поскольку $x^6 \ge 0$ для всех $x$, то $y = \frac{1}{x^6} > 0$. График функции полностью расположен в I и II координатных четвертях.
• Ось OX ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, а ось OY ($x=0$) — вертикальной асимптотой.
• При $x \to 0$, $y \to +\infty$. При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.
• Контрольные точки: $(\pm 1, 1)$.

Рассмотрим вторую функцию: $y = 4 - x^2$.
Это квадратичная функция, ее график — парабола.

• Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$).
• Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2(-1)} = 0$. Ордината вершины $y_0 = 4 - 0^2 = 4$. Таким образом, вершина находится в точке $(0, 4)$.
• Функция является четной, ее график симметричен относительно оси OY.
• Точки пересечения с осью OX (нули функции): $4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Построим эскизы графиков в одной системе координат.
Оба графика симметричны относительно оси OY, поэтому достаточно рассмотреть их поведение при $x > 0$ и затем отразить результат на область $x < 0$.
При $x \to 0^+$, график $y = \frac{1}{x^6}$ уходит в $+\infty$, а парабола $y = 4-x^2$ приближается к своей вершине в точке $(0, 4)$. Следовательно, вблизи оси OY график $y = \frac{1}{x^6}$ лежит выше параболы.
В точке $x=1$, значение первой функции $y = \frac{1}{1^6} = 1$, а второй $y = 4 - 1^2 = 3$. Парабола лежит выше.
Поскольку при переходе от $x \to 0^+$ к $x=1$ графики поменялись местами, они должны пересечься в некоторой точке на интервале $(0, 1)$.
В точке $x=2$, значение первой функции $y = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$, а второй $y = 4 - 2^2 = 0$. Теперь график $y = \frac{1}{x^6}$ снова лежит выше параболы.
Поскольку при переходе от $x=1$ к $x=2$ графики снова поменялись местами, они должны пересечься в некоторой точке на интервале $(1, 2)$.
Таким образом, в первой координатной четверти ($x > 0$) есть две точки пересечения. В силу симметрии обоих графиков относительно оси OY, во второй координатной четверти ($x < 0$) также будут две точки пересечения.
Общее количество точек пересечения равно 4.

Ответ: 4 решения.

2) Чтобы определить количество решений системы уравнений графически, необходимо построить графики функций, входящих в систему, и найти количество точек их пересечения.

Система уравнений: $ \begin{cases} y = x^{-3} \\ y = x^3 + 3 \end{cases} $

Рассмотрим первую функцию: $y = x^{-3}$ или $y = \frac{1}{x^3}$.
Это степенная функция с отрицательным нечетным показателем (обратная пропорциональность), ее график — гипербола.

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$.
• Так как показатель степени $3$ — нечетное число, функция является нечетной ($y(-x) = -y(x)$). Ее график симметричен относительно начала координат.
• График функции расположен в I и III координатных четвертях.
• Ось OX ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, а ось OY ($x=0$) — вертикальной асимптотой.
• При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$. При $x \to 0^-$, $y \to -\infty$.
• Контрольные точки: $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Рассмотрим вторую функцию: $y = x^3 + 3$.
Это кубическая функция, ее график — кубическая парабола, смещенная на 3 единицы вверх вдоль оси OY.

• Область определения: все действительные числа.
• Функция является возрастающей на всей области определения.
• Точка пересечения с осью OY: $(0, 3)$.
• Точка пересечения с осью OX: $x^3 + 3 = 0 \Rightarrow x^3 = -3 \Rightarrow x = -\sqrt[3]{3} \approx -1.44$. Точка: $(-\sqrt[3]{3}, 0)$.

Построим эскизы графиков в одной системе координат.
Проанализируем поведение графиков.
Для $x > 0$ (I четверть): График $y = \frac{1}{x^3}$ убывает от $+\infty$ до $0$. График $y = x^3 + 3$ возрастает от $3$ (при $x \to 0^+$) до $+\infty$. Поскольку один график начинается "сверху" и убывает, а другой начинается "снизу" и возрастает, они обязаны пересечься ровно один раз.
Для $x < 0$ (III и II четверти): График $y = \frac{1}{x^3}$ расположен в III четверти и убывает от $0$ до $-\infty$. График $y = x^3 + 3$ возрастает от $-\infty$ до $3$ (при $x \to 0^-$), пересекая ось OX в точке $x = -\sqrt[3]{3}$. Поскольку один график приходит из $-\infty$ и возрастает, а другой убывает к $-\infty$, они также обязаны пересечься ровно один раз.
Таким образом, существует одна точка пересечения при $x > 0$ и одна точка пересечения при $x < 0$.
Общее количество точек пересечения равно 2.

Ответ: 2 решения.