Номер 7.13, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.13. Постройте график функции:

1) $y = x^{-5} - 3$;

2) $y = 4x^{-5}$;

3) $y = (x + 1)^{-4}$;

4) $y = -x^{-4}$.

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод геометрических преобразований графиков элементарных степенных функций.

Построение графика этой функции основано на преобразовании графика базовой функции $y_0 = x^{-5}$, которую можно также записать как $y_0 = \frac{1}{x^5}$.

Сначала рассмотрим свойства и график базовой функции $y_0 = x^{-5}$. Это степенная функция с нечетным отрицательным показателем. Ее область определения: $D(y_0) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция является нечетной, так как $y_0(-x) = (-x)^{-5} = -x^{-5} = -y_0(x)$, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Ветви графика расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами: вертикальная асимптота $x=0$ (ось $Oy$) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось $Ox$). График проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Чтобы получить график функции $y = x^{-5} - 3$ из графика $y_0 = x^{-5}$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика базовой функции на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

В результате этого преобразования:

• Вертикальная асимптота $x=0$ не изменяется.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 3 единицы вниз и становится прямой $y=-3$.
• Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ смещается в точку $(x_0, y_0 - 3)$. Например, точка $(1, 1)$ переходит в $(1, -2)$, а точка $(-1, -1)$ переходит в $(-1, -4)$.

Таким образом, для построения искомого графика сначала нужно построить асимптоты $x=0$ и $y=-3$. Затем, относительно этих асимптот, как в новой системе координат, построить график функции $y' = (x')^{-5}$, где ветви проходят через точки $(1, -2)$ и $(-1, -4)$ относительно исходной системы координат.

Ответ: График функции $y=x^{-5}-3$ получается из графика базовой функции $y=x^{-5}$ сдвигом на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Асимптоты графика: $x=0$ и $y=-3$.

Для построения графика функции $y = 4x^{-5}$ мы снова используем в качестве базовой функцию $y_0 = x^{-5}$.

Свойства базовой функции $y_0 = x^{-5}$ описаны в предыдущем пункте.

Чтобы получить график функции $y = 4x^{-5}$ из графика $y_0 = x^{-5}$, необходимо выполнить растяжение графика базовой функции от оси $Ox$ (вдоль оси $Oy$) в 4 раза.

В результате этого преобразования:

• Асимптоты $x=0$ и $y=0$ не изменяются.
• Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, 4y_0)$. Ордината каждой точки увеличивается в 4 раза. Например, точка $(1, 1)$ переходит в $(1, 4)$, а точка $(-1, -1)$ переходит в $(-1, -4)$.
• График становится "круче", то есть быстрее стремится к бесконечности при приближении $x$ к нулю, и быстрее стремится к нулю при устремлении $x$ к бесконечности.

Для построения графика рисуем асимптоты $x=0$ и $y=0$. Затем отмечаем новые ключевые точки, например, $(1, 4)$ и $(-1, -4)$, и проводим через них ветви графика, сохраняя симметрию относительно начала координат и приближаясь к асимптотам.

Ответ: График функции $y=4x^{-5}$ получается из графика базовой функции $y=x^{-5}$ растяжением в 4 раза вдоль оси $Oy$. Асимптоты графика: $x=0$ и $y=0$.

Построение этого графика основано на преобразовании базовой функции $y_0 = x^{-4}$, или $y_0 = \frac{1}{x^4}$.

Рассмотрим свойства функции $y_0 = x^{-4}$. Это степенная функция с четным отрицательным показателем. Ее область определения: $D(y_0) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция является четной, так как $y_0(-x) = (-x)^{-4} = x^{-4} = y_0(x)$, ее график симметричен относительно оси $Oy$. Так как $x^4 > 0$ для всех $x \neq 0$, то $y_0 > 0$. Ветви графика расположены в I и II координатных четвертях. Асимптоты: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$. График проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

Чтобы получить график функции $y = (x+1)^{-4}$ из графика $y_0 = x^{-4}$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика базовой функции на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$.

В результате этого преобразования:

• Вертикальная асимптота $x=0$ смещается на 1 единицу влево и становится прямой $x=-1$.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменяется.
• Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ смещается в точку $(x_0 - 1, y_0)$. Например, точка $(1, 1)$ переходит в $(0, 1)$, а точка $(-1, 1)$ переходит в $(-2, 1)$.
• Осью симметрии графика становится прямая $x=-1$.

Для построения рисуем асимптоты $x=-1$ и $y=0$. Затем строим ветви графика, проходящие через новые ключевые точки $(0, 1)$ и $(-2, 1)$, симметрично относительно прямой $x=-1$.

Ответ: График функции $y=(x+1)^{-4}$ получается из графика базовой функции $y=x^{-4}$ сдвигом на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$. Асимптоты графика: $x=-1$ и $y=0$.

Для построения графика функции $y = -x^{-4}$ мы снова используем в качестве базовой функцию $y_0 = x^{-4}$.

Свойства базовой функции $y_0 = x^{-4}$ описаны в предыдущем пункте. Ее график расположен в верхней полуплоскости.

Чтобы получить график функции $y = -x^{-4}$ из графика $y_0 = x^{-4}$, необходимо выполнить симметричное отражение графика базовой функции относительно оси $Ox$.

В результате этого преобразования:

• Асимптоты $x=0$ и $y=0$ не изменяются.
• Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, -y_0)$. Ордината каждой точки меняет знак. Например, точка $(1, 1)$ переходит в $(1, -1)$, а точка $(-1, 1)$ переходит в $(-1, -1)$.
• График становится расположенным в нижней полуплоскости (в III и IV координатных четвертях).
• Функция остается четной, и ее график симметричен относительно оси $Oy$.

Для построения графика рисуем асимптоты $x=0$ и $y=0$. Затем отмечаем новые ключевые точки $(1, -1)$ и $(-1, -1)$ и проводим через них ветви графика, симметрично относительно оси $Oy$ и приближаясь к асимптотам.

Ответ: График функции $y=-x^{-4}$ получается из графика базовой функции $y=x^{-4}$ отражением относительно оси $Ox$. Асимптоты графика: $x=0$ и $y=0$.