Номер 7.6, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.6. Функция задана формулой $f(x) = x^{-40}$. Сравните:

1) $f(6,2)$ и $f(5,5)$;

2) $f(-1,6)$ и $f(-1,7)$;

3) $f(24)$ и $f(-24)$;

4) $f(-8)$ и $f(6)$.

Для решения задачи проанализируем свойства функции $f(x) = x^{-40}$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^{40}}$. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$.

Рассмотрим ключевые свойства этой функции:

• Четность. Показатель степени (-40) является четным числом. Проверим функцию на четность: $f(-x) = (-x)^{-40} = \frac{1}{(-x)^{40}} = \frac{1}{x^{40}} = f(x)$. Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Это значит, что ее график симметричен относительно оси ординат, а значения функции для противоположных аргументов равны.
• Монотонность.
  • На промежутке $(0; +\infty)$ функция $y=x^{40}$ возрастает. Следовательно, обратная ей функция $f(x) = \frac{1}{x^{40}}$ убывает. Таким образом, для любых $x_1 > x_2 > 0$ выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.
  • На промежутке $(-\infty; 0)$ функция $f(x)$ возрастает. Это следует из ее четности и убывания на $(0; +\infty)$. Также можно рассуждать напрямую: если $x_1 < x_2 < 0$, то $|x_1| > |x_2| > 0$. Тогда $|x_1|^{40} > |x_2|^{40}$. Поскольку показатель степени четный, $x_1^{40} > x_2^{40}$, а для обратных величин $\frac{1}{x_1^{40}} < \frac{1}{x_2^{40}}$, то есть $f(x_1) < f(x_2)$.

Используя эти свойства, сравним заданные значения.

1) f(6,2) и f(5,5);

Аргументы $6,2$ и $5,5$ принадлежат промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция $f(x)$ убывает. Поскольку $6,2 > 5,5$, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $f(6,2) < f(5,5)$.
Ответ: $f(6,2) < f(5,5)$.

2) f(-1,6) и f(-1,7);

Аргументы $-1,6$ и $-1,7$ принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$, на котором функция $f(x)$ возрастает. Поскольку $-1,6 > -1,7$, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $f(-1,6) > f(-1,7)$.
Ответ: $f(-1,6) > f(-1,7)$.

3) f(24) и f(-24);

Так как функция $f(x) = x^{-40}$ является четной, то по определению $f(x) = f(-x)$ для любого $x$ из области определения. Для $x=24$ получаем $f(24) = f(-24)$.
Ответ: $f(24) = f(-24)$.

4) f(-8) и f(6).

Используем свойство четности функции: $f(-8) = f(8)$. Таким образом, задача сводится к сравнению $f(8)$ и $f(6)$. Аргументы $8$ и $6$ принадлежат промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция убывает. Поскольку $8 > 6$, то $f(8) < f(6)$. Заменяя $f(8)$ на равное ему $f(-8)$, получаем итоговое неравенство: $f(-8) < f(6)$.
Ответ: $f(-8) < f(6)$.