Номер 7.5, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.5. Функция задана формулой $f(x) = x^{-16}$. Сравните:

1) $f(1,6)$ и $f(2,2);$

2) $f(-4,5)$ и $f(-3,6);$

3) $f(-3,4)$ и $f(3,4);$

4) $f(-18)$ и $f(3).

Для решения задачи необходимо проанализировать свойства функции $f(x) = x^{-16}$.

Функцию можно представить в виде дроби: $f(x) = \frac{1}{x^{16}}$.

Рассмотрим ключевые свойства этой функции:

1. Четность. Показатель степени $-16$ является четным числом, поэтому функция является четной. Это означает, что для любого $x$ из области определения ($x \neq 0$) выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (OY).

2. Монотонность.
- На промежутке $(0, +\infty)$ функция убывает. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.
- На промежутке $(-\infty, 0)$ функция возрастает. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.

Используя эти свойства, сравним значения функции в заданных точках.

1) Сравним $f(1,6)$ и $f(2,2)$.
Аргументы $1,6$ и $2,2$ принадлежат промежутку $(0, +\infty)$, на котором функция $f(x)$ убывает. Поскольку $1,6 < 2,2$, то из свойства убывающей функции следует, что $f(1,6) > f(2,2)$.
Ответ: $f(1,6) > f(2,2)$.

2) Сравним $f(-4,5)$ и $f(-3,6)$.
Аргументы $-4,5$ и $-3,6$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0)$, на котором функция $f(x)$ возрастает. Поскольку $-4,5 < -3,6$, то из свойства возрастающей функции следует, что $f(-4,5) < f(-3,6)$.
Ответ: $f(-4,5) < f(-3,6)$.

3) Сравним $f(-3,4)$ и $f(3,4)$.
Так как функция $f(x)$ является четной, для нее выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Следовательно, $f(-3,4) = f(3,4)$.
Ответ: $f(-3,4) = f(3,4)$.

4) Сравним $f(-18)$ и $f(3)$.
Воспользуемся свойством четности функции: $f(-18) = f(18)$. Теперь задача сводится к сравнению $f(18)$ и $f(3)$. Аргументы $18$ и $3$ принадлежат промежутку $(0, +\infty)$, на котором функция убывает. Так как $18 > 3$, то $f(18) < f(3)$. Отсюда следует, что $f(-18) < f(3)$.
Ответ: $f(-18) < f(3)$.