Номер 7.1, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.1. Проходит ли график функции $y = x^{-4}$ через точку:

1) $A \left(2; \frac{1}{16}\right)$;

2) $B \left(-2; \frac{1}{8}\right)$;

3) $C \left(\frac{1}{3}; 81\right)$;

4) $D \left(\sqrt{2}; -\frac{1}{4}\right)$?

Для того чтобы определить, проходит ли график функции $y = x^{-4}$ через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки $(x_0, y_0)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное равенство $y_0 = x_0^{-4}$, то точка принадлежит графику. Функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x^4}$.

1) $A(2; \frac{1}{16})$
Подставим абсциссу точки $x = 2$ в уравнение функции и вычислим соответствующее значение $y$:
$y = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Полученное значение $y = \frac{1}{16}$ совпадает с ординатой точки A. Следовательно, график функции проходит через точку A.
Ответ: да, проходит.

2) $B(-2; \frac{1}{8})$
Подставим абсциссу точки $x = -2$ в уравнение функции:
$y = (-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16}$.
Полученное значение $y = \frac{1}{16}$ не равно ординате точки B, которая равна $\frac{1}{8}$. Следовательно, график функции не проходит через точку B.
Ответ: нет, не проходит.

3) $C(\frac{1}{3}; 81)$
Подставим абсциссу точки $x = \frac{1}{3}$ в уравнение функции:
$y = (\frac{1}{3})^{-4} = \frac{1}{(\frac{1}{3})^4} = \frac{1}{\frac{1^4}{3^4}} = \frac{1}{\frac{1}{81}} = 81$.
Полученное значение $y = 81$ совпадает с ординатой точки C. Следовательно, график функции проходит через точку C.
Ответ: да, проходит.

4) $D(\sqrt{2}; -\frac{1}{4})$
Подставим абсциссу точки $x = \sqrt{2}$ в уравнение функции:
$y = (\sqrt{2})^{-4} = \frac{1}{(\sqrt{2})^4} = \frac{1}{((\sqrt{2})^2)^2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Полученное значение $y = \frac{1}{4}$ не равно ординате точки D, которая равна $-\frac{1}{4}$. Также стоит отметить, что для любого действительного $x \ne 0$, значение $x^4$ всегда положительно, а значит и $y = \frac{1}{x^4}$ также всегда будет положительным. Ордината точки D отрицательна, поэтому она не может принадлежать графику данной функции.
Ответ: нет, не проходит.