Номер 7.4, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.4. Дана функция $f(x) = x^{-25}$. Сравните:

1) $f(18)$ и $f(16)$;

2) $f(-42)$ и $f(2,5)$;

3) $f(-32)$ и $f(-28)$.

Дана функция $f(x) = x^{-25}$. Для сравнения её значений в различных точках, проанализируем свойства этой функции.

Функцию можно представить в виде дроби: $f(x) = \frac{1}{x^{25}}$.

Свойства функции:

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, кроме нуля, т.е. $x \in (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$.

2. Знак функции: Поскольку показатель степени 25 является нечетным числом, то $x^{25}$ имеет тот же знак, что и $x$. Следовательно, знак $f(x) = \frac{1}{x^{25}}$ также совпадает со знаком $x$.

• Если $x > 0$, то $f(x) > 0$.
• Если $x < 0$, то $f(x) < 0$.

3. Монотонность: Чтобы определить, возрастает или убывает функция, найдем её производную:
$f'(x) = (x^{-25})' = -25 \cdot x^{-25-1} = -25x^{-26} = -\frac{25}{x^{26}}$.
Поскольку $x^{26}$ (степень с четным показателем) всегда положителен при $x \neq 0$, то производная $f'(x)$ всегда отрицательна на всей области определения.
Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; \infty)$. Для убывающей функции, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

Теперь сравним значения функции в заданных точках.

1) $f(18)$ и $f(16)$

Аргументы 18 и 16 принадлежат промежутку $(0; \infty)$, на котором функция строго убывает. Сравним аргументы: $16 < 18$. Так как функция убывающая, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $f(16) > f(18)$.

Ответ: $f(18) < f(16)$.

2) $f(-42)$ и $f(2,5)$

Аргументы -42 и 2,5 принадлежат разным промежуткам области определения. Воспользуемся свойством знака функции.

• Аргумент $x = -42$ отрицательный, следовательно, значение функции $f(-42)$ также отрицательно: $f(-42) < 0$.
• Аргумент $x = 2,5$ положительный, следовательно, значение функции $f(2,5)$ также положительно: $f(2,5) > 0$.

Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $f(2,5) > f(-42)$.

Ответ: $f(-42) < f(2,5)$.

3) $f(-32)$ и $f(-28)$

Аргументы -32 и -28 принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$, на котором функция строго убывает. Сравним аргументы: $-32 < -28$. Так как функция убывающая на этом промежутке, большему значению аргумента (-28) соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $f(-32) > f(-28)$.

Ответ: $f(-32) > f(-28)$.