Номер 7.3, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.3. Дана функция $f(x) = x^{-19}$. Сравните:

1) $f(1,6)$ и $f(2);$

2) $f(-5,6)$ и $f(-6,5);$

3) $f(-9,6)$ и $f(9,6);$

4) $f(0,1)$ и $f(-10).$

Для решения задачи проанализируем свойства функции $f(x) = x^{-19}$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^{19}}$.

• Область определения: Все действительные числа, кроме $x=0$.
• Четность/нечетность: Проверим $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^{-19} = \frac{1}{(-x)^{19}} = \frac{1}{-x^{19}} = - \frac{1}{x^{19}} = -f(x)$. Функция является нечетной. Это значит, что $f(-a) = -f(a)$.
• Монотонность: Найдем производную функции: $f'(x) = (-19) \cdot x^{-19-1} = -19x^{-20} = -\frac{19}{x^{20}}$. Поскольку $x^{20} > 0$ для любого $x \neq 0$, производная $f'(x)$ всегда отрицательна. Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.
• Знак функции: Если $x>0$, то $x^{19}>0$ и $f(x)>0$. Если $x<0$, то $x^{19}<0$ и $f(x)<0$.

Используя эти свойства, сравним значения.

1) Сравним $f(1,6)$ и $f(2)$.

Аргументы $1,6$ и $2$ принадлежат промежутку $(0, +\infty)$, на котором функция $f(x)$ убывает.

Так как $1,6 < 2$, то для убывающей функции выполняется неравенство $f(1,6) > f(2)$.

Ответ: $f(1,6) > f(2)$.

2) Сравним $f(-5,6)$ и $f(-6,5)$.

Аргументы $-5,6$ и $-6,5$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0)$, на котором функция $f(x)$ также убывает.

Сравним аргументы: $-6,5 < -5,6$. Поскольку функция на этом промежутке убывает, для меньшего аргумента значение функции будет больше. Таким образом, $f(-6,5) > f(-5,6)$.

Ответ: $f(-5,6) < f(-6,5)$.

3) Сравним $f(-9,6)$ и $f(9,6)$.

Как было показано ранее, функция $f(x)=x^{-19}$ является нечетной, то есть $f(-x) = -f(x)$.

Следовательно, $f(-9,6) = -f(9,6)$.

Найдем знак $f(9,6)$. Так как $9,6 > 0$, то $f(9,6) = \frac{1}{9,6^{19}} > 0$.

Значит, $f(-9,6)$ является отрицательным числом. Любое положительное число больше отрицательного, поэтому $f(9,6) > f(-9,6)$.

Ответ: $f(-9,6) < f(9,6)$.

4) Сравним $f(0,1)$ и $f(-10)$.

В этом случае аргументы имеют разные знаки. Определим знак каждого значения функции.

Для $x = 0,1 > 0$, значение функции $f(0,1) = \frac{1}{0,1^{19}}$ будет положительным.

Для $x = -10 < 0$, значение функции $f(-10) = \frac{1}{(-10)^{19}}$ будет отрицательным, так как знаменатель $(-10)^{19}$ отрицателен.

Положительное число всегда больше отрицательного, следовательно, $f(0,1) > f(-10)$.

Ответ: $f(0,1) > f(-10)$.