Номер 7.14, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.14. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^{-6}$ на промежутке:

1) $\left[ \frac{1}{2}; 1 \right];$

2) $\left[-1; -\frac{1}{2}\right];$

3) $\left[1; +\infty\right).$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^{-6}$, которую можно записать как $f(x) = \frac{1}{x^6}$, проанализируем её свойства.

Свойства функции:

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$.
• Четность: Функция является четной, так как $f(-x) = (-x)^{-6} = \frac{1}{(-x)^6} = \frac{1}{x^6} = f(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Монотонность: Для определения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции:
  $f'(x) = (x^{-6})' = -6x^{-7} = -\frac{6}{x^7}$.
  - Если $x > 0$, то $x^7 > 0$, и $f'(x) < 0$. Следовательно, функция монотонно убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
  - Если $x < 0$, то $x^7 < 0$, и $f'(x) > 0$. Следовательно, функция монотонно возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$.

Так как производная нигде не равна нулю, у функции нет стационарных точек (точек локального экстремума). Наибольшее и наименьшее значения на замкнутых отрезках будут достигаться на их концах.

1) $[\frac{1}{2}; 1]$

Данный отрезок полностью находится в промежутке $(0; +\infty)$, где функция $f(x)$ монотонно убывает. Это значит, что наибольшее значение достигается в левой точке отрезка, а наименьшее — в правой.
Вычисляем значения на концах отрезка:
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{-6} = (2^{-1})^{-6} = 2^6 = 64$.
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(1) = 1^{-6} = 1$.
Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[\frac{1}{2}; 1]$ равно 64, а наименьшее значение равно 1.

2) $[-1; -\frac{1}{2}]$

Данный отрезок полностью находится в промежутке $(-\infty; 0)$, где функция $f(x)$ монотонно возрастает. Это значит, что наименьшее значение достигается в левой точке отрезка, а наибольшее — в правой.
Вычисляем значения на концах отрезка:
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(-1) = (-1)^{-6} = \frac{1}{(-1)^6} = \frac{1}{1} = 1$.
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^{-6} = \frac{1}{(-\frac{1}{2})^6} = \frac{1}{\frac{1}{64}} = 64$.
Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[-1; -\frac{1}{2}]$ равно 64, а наименьшее значение равно 1.

3) $[1; +\infty)$

Данный промежуток полностью находится в области $(0; +\infty)$, где функция $f(x)$ монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение она принимает в самой левой точке промежутка, то есть при $x=1$.
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(1) = 1^{-6} = 1$.
Для нахождения наименьшего значения рассмотрим поведение функции при $x \to +\infty$:
$\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x^6} = 0$.
Функция стремится к нулю, но никогда не достигает этого значения ни в одной точке из промежутка $[1; +\infty)$. Таким образом, наименьшего значения на данном промежутке не существует.
Ответ: наибольшее значение функции на промежутке $[1; +\infty)$ равно 1, а наименьшего значения не существует.