Номер 7.18, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.18. Чётным или нечётным является натуральное число $n$ в показателе степени функции $f(x) = x^{-n}$, если:

1) $f(-2) > f(-1)$;

2) $f(-2) < f(1)$;

3) $f(-2) < f(-1)$;

4) $f(2) < f(1)?$

Для решения задачи проанализируем свойства функции $f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ в зависимости от чётности натурального числа $n$.

Случай 1: $n$ — чётное число.

В этом случае $n = 2k$ для некоторого натурального $k$. Функция принимает вид $f(x) = \frac{1}{x^{2k}}$.

• Функция является чётной, так как $f(-x) = \frac{1}{(-x)^{2k}} = \frac{1}{x^{2k}} = f(x)$.
• Функция положительна для всех $x \neq 0$.
• На промежутке $(-\infty, 0)$ функция возрастает.
• На промежутке $(0, \infty)$ функция убывает.

Случай 2: $n$ — нечётное число.

В этом случае $n = 2k-1$ для некоторого натурального $k$. Функция принимает вид $f(x) = \frac{1}{x^{2k-1}}$.

• Функция является нечётной, так как $f(-x) = \frac{1}{(-x)^{2k-1}} = \frac{1}{-x^{2k-1}} = -f(x)$.
• Функция отрицательна при $x < 0$ и положительна при $x > 0$.
• Функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$.

Теперь рассмотрим каждое условие.

1) $f(-2) > f(-1)$

Аргументы $-2$ и $-1$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0)$.

Если $n$ — чётное, функция на этом промежутке возрастает. Поскольку $-2 < -1$, должно выполняться неравенство $f(-2) < f(-1)$. Это противоречит условию $f(-2) > f(-1)$.

Если $n$ — нечётное, функция на этом промежутке убывает. Поскольку $-2 < -1$, должно выполняться неравенство $f(-2) > f(-1)$. Это соответствует условию задачи.

Следовательно, число $n$ должно быть нечётным.

Ответ: $n$ — нечётное число.

2) $f(-2) < f(1)$

Вычислим значения функции: $f(-2) = (-2)^{-n} = \frac{1}{(-2)^n}$ и $f(1) = 1^{-n} = 1$.

Неравенство имеет вид $\frac{1}{(-2)^n} < 1$.

Если $n$ — чётное, то $(-2)^n = 2^n$. Неравенство $\frac{1}{2^n} < 1$ верно для любого натурального $n$.

Если $n$ — нечётное, то $(-2)^n = -2^n$. Неравенство $-\frac{1}{2^n} < 1$ также верно, так как отрицательное число всегда меньше положительного.

Поскольку неравенство выполняется для любого натурального $n$ (и чётного, и нечётного), определить чётность $n$ по этому условию невозможно.

Ответ: На основании этого условия невозможно определить чётность $n$.

3) $f(-2) < f(-1)$

Аргументы $-2$ и $-1$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0)$.

Если $n$ — чётное, функция на этом промежутке возрастает. Поскольку $-2 < -1$, выполняется неравенство $f(-2) < f(-1)$, что соответствует условию.

Если $n$ — нечётное, функция на этом промежутке убывает. Поскольку $-2 < -1$, должно выполняться неравенство $f(-2) > f(-1)$. Это противоречит условию $f(-2) < f(-1)$.

Следовательно, число $n$ должно быть чётным.

Ответ: $n$ — чётное число.

4) $f(2) < f(1)$

Аргументы $2$ и $1$ принадлежат промежутку $(0, \infty)$. На этом промежутке функция $f(x)$ убывает при любом натуральном $n$ (как чётном, так и нечётном).

Поскольку $1 < 2$, для убывающей функции всегда будет выполняться неравенство $f(1) > f(2)$, или $f(2) < f(1)$.

Проверим напрямую: $f(2) = 2^{-n} = \frac{1}{2^n}$, $f(1) = 1^{-n} = 1$. Неравенство $\frac{1}{2^n} < 1$ верно для любого натурального $n$.

Поскольку неравенство выполняется для любого натурального $n$, определить его чётность по этому условию невозможно.

Ответ: На основании этого условия невозможно определить чётность $n$.