Номер 7.23, страница 61 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.23. Решите графически уравнение:

1) $\sqrt{x}=-x-1$;

2) $\sqrt{x}=2-x$;

3) $\sqrt{x}=\frac{1}{x}$.

1) Для того чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = -x - 1$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = -x - 1$. Решением уравнения будет абсцисса (координата $x$) точки их пересечения.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, ось которой совпадает с осью Ox. Она начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, 1), (4, 2), (9, 3). Все точки этого графика находятся в первой координатной четверти (или в начале координат), поэтому для них выполняются условия $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

График функции $y = -x - 1$ — это прямая линия. Для её построения найдём две точки. Например, при $x = 0$, $y = -1$ (точка (0, -1)), и при $y = 0$, $x = -1$ (точка (-1, 0)).

Построим оба графика. График $y = \sqrt{x}$ лежит целиком в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Прямая $y = -x - 1$ в области определения функции $y=\sqrt{x}$ (то есть при $x \ge 0$) проходит ниже оси Ox. Например, при $x=0$, $y=-1$; при $x=1$, $y=-2$. Таким образом, графики функций не пересекаются.

Это означает, что исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2) Чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = 2 - x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2 - x$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График функции $y = 2 - x$ — это прямая линия. Найдем две точки для построения: при $x = 0$, $y = 2$ (точка (0, 2)), и при $x = 2$, $y = 0$ (точка (2, 0)).

При построении графиков в одной системе координат видно, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки можно определить подбором. Проверим значение $x=1$:
Для первой функции: $y = \sqrt{1} = 1$.
Для второй функции: $y = 2 - 1 = 1$.
Так как значения $y$ совпали, точка (1, 1) является точкой пересечения графиков.

Абсцисса точки пересечения $x=1$ является решением уравнения.

Ответ: $x = 1$.

3) Чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = \frac{1}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{x}$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы с вершиной в точке (0, 0), проходящая через точки (1, 1) и (4, 2). Область определения функции: $x \ge 0$.

График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Поскольку для функции $y=\sqrt{x}$ определено только $x \ge 0$, нас интересует только ветвь гиперболы в первой четверти ($x > 0$). Эта ветвь проходит через точки (1, 1), (2, 0.5), (0.5, 2).

Построим графики. Видно, что они пересекаются в одной точке. Проверим значение $x=1$:
Для первой функции: $y = \sqrt{1} = 1$.
Для второй функции: $y = \frac{1}{1} = 1$.
Значения совпали, значит, точка (1, 1) — точка пересечения.

Следовательно, решением уравнения является абсцисса точки пересечения $x=1$.

Ответ: $x = 1$.