Номер 7.15, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.15. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^{-3}$ на промежутке:

1) $[\frac{1}{3}; 2];$

2) $[-2; -1];$

3) $(-\infty; -3].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^{-3}$ на заданных промежутках, сначала проанализируем саму функцию. Функция $f(x) = x^{-3}$ может быть записана как $f(x) = \frac{1}{x^3}$. Область определения этой функции: все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$. Чтобы определить характер монотонности функции, найдем ее производную: $f'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.

Поскольку $x^4$ всегда положительно для любого $x \neq 0$, то производная $f'(x) = -\frac{3}{x^4}$ всегда отрицательна на всей области определения функции. Это означает, что функция $f(x) = x^{-3}$ является строго убывающей на каждом из интервалов своей непрерывности: $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$. Это свойство мы будем использовать для решения задачи на каждом из промежутков.

1) Промежуток $[\frac{1}{3}; 2]$.
Это замкнутый отрезок, который полностью лежит в интервале $(0; \infty)$, где функция непрерывна и строго убывает. Для убывающей функции на отрезке $[a; b]$ наибольшее значение достигается в левой граничной точке ($x=a$), а наименьшее — в правой ($x=b$).
В нашем случае $a = \frac{1}{3}$ и $b = 2$.
Вычисляем значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $f_{наиб.} = f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^{-3} = \frac{1}{(\frac{1}{3})^3} = \frac{1}{\frac{1}{27}} = 27$.
Наименьшее значение: $f_{наим.} = f(2) = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $27$, наименьшее значение равно $\frac{1}{8}$.

2) Промежуток $[-2; -1]$.
Это также замкнутый отрезок, но он полностью лежит в интервале $(-\infty; 0)$, где функция также непрерывна и строго убывает.
Аналогично предыдущему пункту, наибольшее значение будет в левой граничной точке $x = -2$, а наименьшее — в правой $x = -1$.
Вычисляем значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $f_{наиб.} = f(-2) = (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$.
Наименьшее значение: $f_{наим.} = f(-1) = (-1)^{-3} = \frac{1}{(-1)^3} = -1$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $-\frac{1}{8}$, наименьшее значение равно $-1$.

3) Промежуток $(-\infty; -3]$.
Этот промежуток является лучом и лежит в интервале $(-\infty; 0)$, где функция строго убывает.
Так как функция убывает, наименьшее значение она будет принимать при наибольшем значении аргумента $x$ из данного промежутка. Наибольшее значение $x$ на промежутке $(-\infty; -3]$ равно $-3$.
Наименьшее значение: $f_{наим.} = f(-3) = (-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = -\frac{1}{27}$.
Для нахождения наибольшего значения рассмотрим поведение функции при $x \to -\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^3} = 0$.
На промежутке $(-\infty; -3]$ значения функции изменяются в пределах $[-\frac{1}{27}, 0)$. Функция стремится к нулю, но никогда его не достигает. Таким образом, у функции на данном промежутке есть точная верхняя грань (supremum), равная 0, но нет наибольшего значения (максимума), так как нет такого значения $x_0$ в промежутке, для которого $f(x_0)=0$.
Ответ: наименьшее значение функции равно $-\frac{1}{27}$, наибольшего значения не существует.