Страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.7. Найдите значение выражения:

1) $( \sqrt[8]{18} )^8$;

2) $( - \sqrt[9]{9} )^9$;

3) $( - \sqrt[6]{11} )^6$;

4) $( \frac{1}{3} \sqrt[3]{45} )^3$;

5) $\frac{1}{3} \sqrt[3]{45^3}$;

6) $( -2 \sqrt[5]{-5} )^5$.

1) Для решения этого примера воспользуемся свойством корня n-ой степени: $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
В данном случае $n=8$ и $a=18$.
Следовательно, $(\sqrt[8]{18})^8 = 18$.
Ответ: $18$.

2) Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$. Так как показатель степени $9$ является нечетным числом, знак минус сохраняется.
$(-\sqrt[9]{9})^9 = (-1)^9 \cdot (\sqrt[9]{9})^9 = -1 \cdot (\sqrt[9]{9})^9$.
Далее применяем свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$:
$-1 \cdot 9 = -9$.
Ответ: $-9$.

3) Снова используем свойство $(ab)^n = a^n b^n$. Так как показатель степени $6$ является четным числом, знак минус при возведении в степень исчезает, так как $(-1)^6 = 1$.
$(-\sqrt[6]{11})^6 = (-1)^6 \cdot (\sqrt[6]{11})^6 = 1 \cdot (\sqrt[6]{11})^6$.
Применяя свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$, получаем:
$1 \cdot 11 = 11$.
Ответ: $11$.

4) Воспользуемся свойством степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$.
$(\frac{1}{3}\sqrt[3]{45})^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (\sqrt[3]{45})^3$.
Вычислим значение каждого множителя по отдельности:
$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$.
$(\sqrt[3]{45})^3 = 45$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$\frac{1}{27} \cdot 45 = \frac{45}{27}$.
Сократим полученную дробь на их общий делитель $9$:
$\frac{45 \div 9}{27 \div 9} = \frac{5}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{3}$.

5) В этом выражении степень находится под знаком корня. Используем свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ (при $a \ge 0$).
$\frac{1}{3}\sqrt[3]{45^3} = \frac{1}{3} \cdot 45$.
Выполним умножение:
$\frac{45}{3} = 15$.
Ответ: $15$.

6) Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$.
$(-2\sqrt[5]{-5})^5 = (-2)^5 \cdot (\sqrt[5]{-5})^5$.
Вычислим значение каждого множителя:
$(-2)^5 = -32$.
Для корня нечетной степени ($n=5$) свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$ справедливо и для отрицательных значений $a$:
$(\sqrt[5]{-5})^5 = -5$.
Перемножим полученные результаты:
$(-32) \cdot (-5) = 160$.
Ответ: $160$.

8.8. Вычислите:

1) $0,3 \sqrt[3]{1000} - 5\sqrt[8]{256} + 6 \cdot (-\sqrt[10]{6})^{10}$;

2) $\sqrt[5]{14^5} + (-2\sqrt{10})^2 - \sqrt[7]{-128}.$

1) $0,3\sqrt[3]{1000} - 5\sqrt[8]{256} + 6 \cdot (-\sqrt[10]{6})^{10}$
Для решения данного выражения вычислим значение каждого его члена по отдельности.
Первый член: $0,3\sqrt[3]{1000}$. Поскольку $10^3=1000$, то $\sqrt[3]{1000}=10$. Следовательно, $0,3 \cdot 10 = 3$.
Второй член: $5\sqrt[8]{256}$. Поскольку $2^8=256$, то $\sqrt[8]{256}=2$. Следовательно, $5 \cdot 2 = 10$.
Третий член: $6 \cdot (-\sqrt[10]{6})^{10}$. При возведении в четную степень (10) отрицательное число становится положительным. По свойству $(\sqrt[n]{a})^n = a$, получаем $(-\sqrt[10]{6})^{10} = 6$. Следовательно, $6 \cdot 6 = 36$.
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение: $3 - 10 + 36 = -7 + 36 = 29$.
Ответ: 29

2) $\sqrt[5]{14^5} + (-2\sqrt{10})^2 - \sqrt[7]{-128}$
Вычислим значение каждого члена выражения.
Первый член: $\sqrt[5]{14^5}$. По свойству $\sqrt[n]{a^n}=a$, получаем $\sqrt[5]{14^5}=14$.
Второй член: $(-2\sqrt{10})^2$. Используя свойство $(ab)^n=a^n b^n$, получаем $(-2)^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$.
Третий член: $\sqrt[7]{-128}$. Поскольку корень нечетной степени (7) из отрицательного числа является отрицательным числом, и $(-2)^7 = -128$, то $\sqrt[7]{-128} = -2$.
Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение: $14 + 40 - (-2) = 14 + 40 + 2 = 56$.
Ответ: 56

8.9. Вычислите:

1) $200\sqrt[3]{0,001} - \sqrt[5]{-0,00032} - (-4\sqrt{2})^2;$

2) $\sqrt[3]{8000} \cdot \sqrt[4]{7\frac{58}{81}} - (-\sqrt[5]{8})^5 + \sqrt[7]{17^7}.$

Разберем выражение $200\sqrt[3]{0,001} - \sqrt[5]{-0,00032} - (-4\sqrt{2})^2$ по частям.

1. Вычислим первый член: $200\sqrt[3]{0,001}$.
Так как $0,001 = 10^{-3} = (0,1)^3$, то корень третьей степени из $0,001$ равен $0,1$.
Следовательно, $200 \cdot \sqrt[3]{0,001} = 200 \cdot 0,1 = 20$.

2. Вычислим второй член: $\sqrt[5]{-0,00032}$.
Так как $-0,00032 = -32 \cdot 10^{-5} = (-2 \cdot 10^{-1})^5 = (-0,2)^5$, то корень пятой степени из $-0,00032$ равен $-0,2$.

3. Вычислим третий член: $(-4\sqrt{2})^2$.
Возводим в квадрат каждый множитель: $(-4\sqrt{2})^2 = (-4)^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$.

4. Теперь соберем все части вместе, подставляя вычисленные значения в исходное выражение:
$20 - (-0,2) - 32$
Раскрываем скобки: $20 + 0,2 - 32 = 20,2 - 32 = -11,8$.

Ответ: $-11,8$.

Разберем выражение $\sqrt[3]{8000} \cdot \sqrt[4]{7\frac{58}{81}} - (-\sqrt[5]{8})^5 + \sqrt[7]{17^7}$ по частям.

1. Вычислим первый множитель: $\sqrt[3]{8000}$.
Так как $8000 = 8 \cdot 1000 = 2^3 \cdot 10^3 = (20)^3$, то $\sqrt[3]{8000} = 20$.

2. Вычислим второй множитель: $\sqrt[4]{7\frac{58}{81}}$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $7\frac{58}{81} = \frac{7 \cdot 81 + 58}{81} = \frac{567+58}{81} = \frac{625}{81}$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt[4]{\frac{625}{81}}$.
Поскольку $625 = 5^4$ и $81 = 3^4$, то $\sqrt[4]{\frac{625}{81}} = \sqrt[4]{(\frac{5}{3})^4} = \frac{5}{3}$.

3. Вычислим произведение первых двух членов: $20 \cdot \frac{5}{3} = \frac{100}{3}$.

4. Вычислим третий член: $(-\sqrt[5]{8})^5$.
По определению корня n-й степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Следовательно, $(-\sqrt[5]{8})^5 = (-1)^5 \cdot (\sqrt[5]{8})^5 = -1 \cdot 8 = -8$.

5. Вычислим четвертый член: $\sqrt[7]{17^7}$.
Так как показатель корня нечетный, $\sqrt[n]{a^n} = a$. Следовательно, $\sqrt[7]{17^7} = 17$.

6. Теперь подставим все значения в исходное выражение:
$\frac{100}{3} - (-8) + 17 = \frac{100}{3} + 8 + 17 = \frac{100}{3} + 25$.
Приведем к общему знаменателю: $\frac{100}{3} + \frac{25 \cdot 3}{3} = \frac{100}{3} + \frac{75}{3} = \frac{175}{3}$.
Выделим целую часть для более наглядного ответа: $175 \div 3 = 58$ с остатком $1$. Таким образом, $\frac{175}{3} = 58\frac{1}{3}$.

Ответ: $58\frac{1}{3}$.

8.10. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt[8]{x + 6}$;

2) $\sqrt[9]{a - 10}$;

3) $\sqrt[4]{y(y - 1)}$;

4) $\sqrt[6]{-x}$;

5) $\sqrt[6]{-x^2}$;

6) $\sqrt[10]{x^2 + 2x - 8}$?

1) Выражение $\sqrt[8]{x+6}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, так как корень имеет четную степень (8). Таким образом, мы должны решить неравенство:

$x + 6 \ge 0$

$x \ge -6$

Ответ: $x \in [-6; +\infty)$.

2) Выражение $\sqrt[9]{a-10}$ имеет смысл для любых значений переменной $a$, так как корень имеет нечетную степень (9). Подкоренное выражение может быть любым действительным числом.

Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$.

3) Выражение $\sqrt[4]{y(y-1)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, так как корень имеет четную степень (4). Решим неравенство:

$y(y-1) \ge 0$

Это квадратное неравенство. Корнями уравнения $y(y-1) = 0$ являются $y=0$ и $y=1$. Графиком функции $f(y) = y^2-y$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения, когда переменная находится вне интервала между корнями.

$y \le 0$ или $y \ge 1$

Ответ: $y \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$.

4) Выражение $\sqrt[6]{-x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, так как корень имеет четную степень (6). Решим неравенство:

$-x \ge 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$x \le 0$

Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

5) Выражение $\sqrt[6]{-x^2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, так как корень имеет четную степень (6). Решим неравенство:

$-x^2 \ge 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$x^2 \le 0$

Поскольку квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$), единственным решением неравенства $x^2 \le 0$ является $x^2 = 0$.

$x=0$

Ответ: $x=0$.

6) Выражение $\sqrt[10]{x^2+2x-8}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, так как корень имеет четную степень (10). Решим неравенство:

$x^2 + 2x - 8 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$

Графиком функции $f(x) = x^2+2x-8$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения, когда переменная находится вне интервала между корнями.

$x \le -4$ или $x \ge 2$

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [2; +\infty)$.

8.11. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt[4]{x-2};$

2) $y = \sqrt[7]{4-x};$

3) $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^2 - 4x + 4}}.$

1)

Дана функция $y = \sqrt[4]{x} - 2$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция содержит корень четной степени (корень четвертой степени). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным. Следовательно, должно выполняться неравенство:

$x \ge 0$

Таким образом, область определения функции — это все числа $x$, большие или равные нулю.

Ответ: $[0, +\infty)$.

2)

Дана функция $y = \sqrt[7]{4 - x}$.

Функция содержит корень нечетной степени (корень седьмой степени). Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Подкоренное выражение $4 - x$ является многочленом, который определен для всех действительных чисел $x$. Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.

Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

3)

Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^2 - 4x + 4}}$.

Область определения этой функции определяется двумя условиями:

• Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
• Выражение под корнем четной степени (корень восьмой степени) должно быть неотрицательным.

Объединяя эти два условия, получаем, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:

$x^2 - 4x + 4 > 0$

Заметим, что левая часть неравенства является полным квадратом разности:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$(x - 2)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только при $x - 2 = 0$, то есть при $x = 2$. Во всех остальных случаях $(x - 2)^2$ будет строго больше нуля.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=2$.

Ответ: $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

8.12. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt[3]{x - 1};$

2) $y = \sqrt[6]{x + 1};$

3) $y = \sqrt[4]{x^2 - x - 2}.$

$\sqrt[3]{x^2 - 4x + 4}$

1) $y = \sqrt[3]{x-1}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция содержит корень нечетной степени (кубический корень). Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, поэтому подкоренное выражение $x-1$ может принимать любые значения (быть положительным, отрицательным или равным нулю). Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается. Областью определения является множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2) $y = \sqrt[6]{x+1}$

Данная функция содержит корень четной степени (корень шестой степени). Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел. Поэтому подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю: $x + 1 \ge 0$ Решим это линейное неравенство: $x \ge -1$ Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные -1.

Ответ: $D(y) = [-1; +\infty)$.

3) $y = \sqrt[4]{\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - x - 2}}$

Для данной функции необходимо выполнение двух условий:
1. Так как корень имеет четную степень (четвертую), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - x - 2} \ge 0$
2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x^2 - x - 2 \ne 0$

Рассмотрим неравенство. Преобразуем числитель и знаменатель.
Числитель: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Это полный квадрат, который всегда неотрицателен: $(x-2)^2 \ge 0$ при любом $x$.
Знаменатель: $x^2 - x - 2$. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9$) находим корни: $x_1 = \frac{1-3}{2} = -1$, $x_2 = \frac{1+3}{2} = 2$. Тогда знаменатель можно разложить на множители: $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$.

Условие $x^2 - x - 2 \ne 0$ означает, что $(x+1)(x-2) \ne 0$, откуда $x \ne -1$ и $x \ne 2$.
Теперь подставим разложенные выражения в исходное неравенство: $\frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-2)} \ge 0$

Так как числитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен, а знаменатель не может быть равен нулю, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был строго положителен. Если числитель равен нулю (при $x=2$), то и знаменатель равен нулю, что недопустимо. Поэтому случай равенства нулю исключается.
Итак, решаем строгое неравенство: $x^2 - x - 2 > 0$ $(x+1)(x-2) > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Корни $x=-1$ и $x=2$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$.
- При $x \in (2; +\infty)$, оба множителя $(x+1)$ и $(x-2)$ положительны, произведение положительно.
- При $x \in (-1; 2)$, множитель $(x+1)$ положителен, а $(x-2)$ отрицателен, произведение отрицательно.
- При $x \in (-\infty; -1)$, оба множителя отрицательны, произведение положительно.
Таким образом, неравенство выполняется на объединении интервалов $(-\infty; -1)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

8.13. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt[4]{2-x}$

2) $y = \sqrt[9]{\frac{x+1}{x-3}}$

3) $y = \sqrt[6]{x^2-4x+3}$

1) $y = \sqrt[4]{2-x}$

Область определения функции, содержащей корень четной степени (в данном случае, корень 4-й степени), определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Таким образом, необходимо решить неравенство:

$2 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства, меняя знак:

$2 \ge x$

Это эквивалентно записи:

$x \le 2$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, меньшие или равные 2. В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty, 2]$.

Ответ: $(-\infty, 2]$.

2) $y = \sqrt[9]{\frac{x+1}{x-3}}$

Данная функция содержит корень нечетной степени (корень 9-й степени). Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения.

Поэтому область определения функции совпадает с областью определения подкоренного выражения, которое представляет собой дробь $\frac{x+1}{x-3}$.

Единственное ограничение для дроби — ее знаменатель не может быть равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль, и исключим его:

$x - 3 \ne 0$

$x \ne 3$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 3. В виде объединения промежутков это записывается как $(-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

3) $y = \sqrt[6]{x^2 - 4x + 3}$

Функция содержит корень четной степени (корень 6-й степени), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим квадратное неравенство:

$x^2 - 4x + 3 \ge 0$

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ имеет ветви, направленные вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, значения функции неотрицательны при $x$, находящихся левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни (так как неравенство нестрогое).

Таким образом, решение неравенства: $x \le 1$ или $x \ge 3$.

В виде объединения промежутков это записывается как $(-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$.

8.14. Найдите область значений функции:

1) $y = \sqrt[4]{x} + 1;$

2) $y = -\sqrt[6]{x} - 2;$

3) $y = \sqrt[3]{x} - 3.$

1) $y = \sqrt[4]{x} + 1$

Областью значений функции называется множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная $y$. Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{x} + 1$. Выражение $\sqrt[4]{x}$ представляет собой арифметический корень четной (четвертой) степени. По определению, значение такого корня для любого неотрицательного подкоренного выражения является неотрицательным числом. Следовательно, для любого $x$ из области определения функции ($x \ge 0$) выполняется неравенство: $\sqrt[4]{x} \ge 0$ Чтобы найти область значений для исходной функции $y$, прибавим 1 к обеим частям этого неравенства: $\sqrt[4]{x} + 1 \ge 0 + 1$ $y \ge 1$ Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные 1.

Ответ: $y \in [1; +\infty)$.

2) $y = -\sqrt[6]{x} - 2$

Рассмотрим функцию $y = -\sqrt[6]{x} - 2$. Выражение $\sqrt[6]{x}$ — это корень четной (шестой) степени, поэтому его значение всегда неотрицательно: $\sqrt[6]{x} \ge 0$ Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-\sqrt[6]{x} \le 0$ Теперь, чтобы получить выражение для $y$, вычтем 2 из обеих частей неравенства: $-\sqrt[6]{x} - 2 \le 0 - 2$ $y \le -2$ Следовательно, область значений данной функции — это все числа, меньшие или равные -2.

Ответ: $y \in (-\infty; -2]$.

3) $y = \sqrt[3]{x} - 3$

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[3]{x} - 3$. Выражение $\sqrt[3]{x}$ — это корень нечетной (третьей) степени. В отличие от корней четной степени, корень нечетной степени определен для любого действительного числа $x$, и его значение также может быть любым действительным числом (положительным, отрицательным или нулем). Область значений функции $f(x) = \sqrt[3]{x}$ — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$. Наша функция $y = \sqrt[3]{x} - 3$ получается из функции $f(x) = \sqrt[3]{x}$ путем сдвига ее графика на 3 единицы вниз вдоль оси ординат. Такой сдвиг не изменяет бесконечную область значений. Если $\sqrt[3]{x}$ может принимать любое значение из $\mathbb{R}$, то и выражение $\sqrt[3]{x} - 3$ также может принимать любое действительное значение.

Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

8.15. Найдите область значений функции:

1) $y = \sqrt[8]{x} + 2;$

2) $y = \sqrt[4]{x} - 4;$

3) $y = \sqrt[5]{x} - 2.$

1) Для функции $y = \sqrt[8]{x} + 2$.
Область значений функции определяется множеством всех значений, которые может принимать $y$.
Корень восьмой степени ($\sqrt[8]{x}$) является корнем четной степени. Арифметический корень четной степени по определению принимает только неотрицательные значения.
Это означает, что $\sqrt[8]{x} \ge 0$.
Теперь рассмотрим всю функцию $y = \sqrt[8]{x} + 2$. Если мы к неотрицательному значению $\sqrt[8]{x}$ прибавим 2, то получим:
$\sqrt[8]{x} + 2 \ge 0 + 2$
$y \ge 2$
Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные 2.
Ответ: $E(y) = [2, +\infty)$.

2) Для функции $y = \sqrt[4]{x-4}$.
Корень четвертой степени ($\sqrt[4]{...}$) является корнем четной степени. Как и в предыдущем случае, значение корня четной степени не может быть отрицательным.
Поэтому, для любого допустимого значения $x$ (в данном случае $x \ge 4$), выражение $\sqrt[4]{x-4}$ будет принимать только неотрицательные значения.
$\sqrt[4]{x-4} \ge 0$
Так как $y = \sqrt[4]{x-4}$, то $y \ge 0$.
Следовательно, область значений функции — это все неотрицательные числа.
Ответ: $E(y) = [0, +\infty)$.

3) Для функции $y = \sqrt[5]{x} - 2$.
Корень пятой степени ($\sqrt[5]{x}$) является корнем нечетной степени. В отличие от корней четной степени, корень нечетной степени может принимать любые действительные значения, как положительные, так и отрицательные, и ноль.
Областью значений функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$ является множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty, +\infty)$.
Функция $y = \sqrt[5]{x} - 2$ получается из функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$ сдвигом графика на 2 единицы вниз по оси $y$. Такой сдвиг не изменяет область значений, если она уже охватывает все действительные числа.
Таким образом, переменная $y$ может принимать любое действительное значение.
Ответ: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

8.16. Сравните:

1) $\sqrt[3]{1.6}$ и $\sqrt[3]{1.4}$;

2) $\sqrt[5]{-23}$ и $\sqrt[5]{-26}$;

3) 2 и $\sqrt[4]{17}$.

1) Для сравнения чисел $\sqrt[3]{1,6}$ и $\sqrt[3]{1,4}$ воспользуемся свойством функции $y=\sqrt[n]{x}$. При нечетном $n$ (в нашем случае $n=3$) эта функция является возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что для любых чисел $a$ и $b$, если $a > b$, то $\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$.
Сравним подкоренные выражения: $1,6 > 1,4$.
Поскольку подкоренное выражение $1,6$ больше, чем $1,4$, то и корень кубический из большего числа будет больше: $\sqrt[3]{1,6} > \sqrt[3]{1,4}$.
Ответ: $\sqrt[3]{1,6} > \sqrt[3]{1,4}$.

2) Для сравнения чисел $\sqrt[5]{-23}$ и $\sqrt[5]{-26}$ рассуждаем аналогично предыдущему пункту. Показатель корня $n=5$ — нечетное число, следовательно, функция $y = \sqrt[5]{x}$ является возрастающей.
Сравним подкоренные выражения: $-23$ и $-26$.
Так как $-23 > -26$, то, согласно свойству возрастающей функции: $\sqrt[5]{-23} > \sqrt[5]{-26}$.
Ответ: $\sqrt[5]{-23} > \sqrt[5]{-26}$.

3) Чтобы сравнить $2$ и $\sqrt[4]{17}$, необходимо привести их к общему виду. Представим число $2$ в виде корня четвертой степени. Для этого возведем $2$ в четвертую степень и запишем результат под знак корня четвертой степени.
$2 = \sqrt[4]{2^4} = \sqrt[4]{16}$.
Теперь задача сводится к сравнению двух корней с одинаковым показателем: $\sqrt[4]{16}$ и $\sqrt[4]{17}$.
Функция $y = \sqrt[4]{x}$ при четном показателе корня ($n=4$) является возрастающей на своей области определения, то есть для $x \ge 0$. Оба подкоренных выражения ($16$ и $17$) положительны.
Сравним подкоренные выражения: $16 < 17$.
Следовательно, $\sqrt[4]{16} < \sqrt[4]{17}$.
Таким образом, $2 < \sqrt[4]{17}$.
Ответ: $2 < \sqrt[4]{17}$.

8.17. Сравните:

1) $\sqrt[6]{55}$ и $\sqrt[6]{80}$;

2) $\sqrt[7]{-\frac{1}{3}}$ и $\sqrt[7]{-\frac{1}{4}}$.

1) Сравните $\sqrt[6]{55}$ и $\sqrt[6]{80}$.

Для сравнения двух корней с одинаковым показателем степени необходимо сравнить их подкоренные выражения. Функция $y=\sqrt[n]{x}$ при четном показателе $n$ (в данном случае $n=6$) является возрастающей для всех неотрицательных значений $x$. Это означает, что большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня.

Сравним подкоренные выражения: 55 и 80.

$55 < 80$

Так как оба числа находятся под корнем одной и той же степени, и $55 < 80$, то и значение корня из 55 будет меньше значения корня из 80.

Следовательно, $\sqrt[6]{55} < \sqrt[6]{80}$.

Ответ: $\sqrt[6]{55} < \sqrt[6]{80}$.

2) Сравните $\sqrt[7]{-\frac{1}{3}}$ и $\sqrt[7]{-\frac{1}{4}}$.

Функция $y=\sqrt[n]{x}$ при нечетном показателе $n$ (в данном случае $n=7$) является возрастающей на всей числовой прямой. Это означает, что для любых чисел $a$ и $b$, если $a < b$, то и $\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$. Таким образом, чтобы сравнить корни, нужно сравнить их подкоренные выражения.

Сравним подкоренные выражения: $-\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{4}$.

Чтобы сравнить эти отрицательные дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 равен 12.

$-\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = -\frac{4}{12}$

$-\frac{1}{4} = -\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = -\frac{3}{12}$

Теперь сравним дроби $-\frac{4}{12}$ и $-\frac{3}{12}$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $|-4| > |-3|$, то $-4 < -3$. Следовательно:

$-\frac{4}{12} < -\frac{3}{12}$

Это означает, что:

$-\frac{1}{3} < -\frac{1}{4}$

Поскольку функция корня седьмой степени является возрастающей, то из неравенства подкоренных выражений следует соответствующее неравенство для самих корней.

Следовательно, $\sqrt[7]{-\frac{1}{3}} < \sqrt[7]{-\frac{1}{4}}$.

Ответ: $\sqrt[7]{-\frac{1}{3}} < \sqrt[7]{-\frac{1}{4}}$.

8.18. Решите уравнение:

1) $x^3 = 27;$

2) $x^5 = 9;$

3) $x^7 = -2;$

4) $x^4 = 16;$

5) $x^6 = 5;$

6) $x^4 = -81;$

7) $27x^3 - 1 = 0;$

8) $(x - 2)^3 = 125;$

9) $(x + 5)^4 = 10 000.$

1) Дано уравнение $x^3 = 27$. Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень третьей (кубической) степени из обеих частей уравнения. Поскольку показатель степени нечетный, корень будет один. $x = \sqrt[3]{27}$. Так как $3^3 = 27$, то $x=3$.
Ответ: $3$.

2) Дано уравнение $x^5 = 9$. Чтобы найти $x$, извлечем корень пятой степени из обеих частей. Показатель степени нечетный, поэтому корень один. $x = \sqrt[5]{9}$. Это иррациональное число, оставим его в таком виде.
Ответ: $\sqrt[5]{9}$.

3) Дано уравнение $x^7 = -2$. Показатель степени (7) нечетный, поэтому уравнение имеет один действительный корень, и мы можем извлекать корень из отрицательного числа. $x = \sqrt[7]{-2}$. Это можно записать как $x = -\sqrt[7]{2}$.
Ответ: $-\sqrt[7]{2}$.

4) Дано уравнение $x^4 = 16$. Показатель степени (4) четный, а правая часть (16) — положительное число. Это означает, что уравнение имеет два действительных корня. $x = \pm\sqrt[4]{16}$. Поскольку $2^4 = 16$, то $x = \pm 2$.
Ответ: $-2; 2$.

5) Дано уравнение $x^6 = 5$. Показатель степени (6) — четный, а правая часть (5) — положительная. Уравнение имеет два действительных корня. $x = \pm\sqrt[6]{5}$.
Ответ: $-\sqrt[6]{5}; \sqrt[6]{5}$.

6) Дано уравнение $x^4 = -81$. Левая часть уравнения, $x^4$, представляет собой число $x$, возведенное в четную степень. Результат такого возведения для любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен ($x^4 \ge 0$). Правая часть уравнения — отрицательное число ($-81$). Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

7) Дано уравнение $27x^3 - 1 = 0$. Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить $x^3$. Перенесем $-1$ в правую часть: $27x^3 = 1$. Разделим обе части на 27: $x^3 = \frac{1}{27}$. Теперь извлечем кубический корень из обеих частей: $x = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

8) Дано уравнение $(x - 2)^3 = 125$. Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения. $x - 2 = \sqrt[3]{125}$. Так как $5^3=125$, то $x - 2 = 5$. Перенесем $-2$ в правую часть: $x = 5 + 2$, откуда $x = 7$.
Ответ: $7$.

9) Дано уравнение $(x + 5)^4 = 10000$. Показатель степени (4) четный, поэтому извлекаем корень четвертой степени и рассматриваем два случая. $x + 5 = \pm\sqrt[4]{10000}$. Поскольку $10^4=10000$, то $x+5 = \pm 10$.
1. $x + 5 = 10 \implies x = 10 - 5 \implies x = 5$.
2. $x + 5 = -10 \implies x = -10 - 5 \implies x = -15$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $-15; 5$.