Номер 8.10, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.10. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt[8]{x + 6}$;

2) $\sqrt[9]{a - 10}$;

3) $\sqrt[4]{y(y - 1)}$;

4) $\sqrt[6]{-x}$;

5) $\sqrt[6]{-x^2}$;

6) $\sqrt[10]{x^2 + 2x - 8}$?

1) Выражение $\sqrt[8]{x+6}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, так как корень имеет четную степень (8). Таким образом, мы должны решить неравенство:

$x + 6 \ge 0$

$x \ge -6$

Ответ: $x \in [-6; +\infty)$.

2) Выражение $\sqrt[9]{a-10}$ имеет смысл для любых значений переменной $a$, так как корень имеет нечетную степень (9). Подкоренное выражение может быть любым действительным числом.

Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$.

3) Выражение $\sqrt[4]{y(y-1)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, так как корень имеет четную степень (4). Решим неравенство:

$y(y-1) \ge 0$

Это квадратное неравенство. Корнями уравнения $y(y-1) = 0$ являются $y=0$ и $y=1$. Графиком функции $f(y) = y^2-y$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения, когда переменная находится вне интервала между корнями.

$y \le 0$ или $y \ge 1$

Ответ: $y \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$.

4) Выражение $\sqrt[6]{-x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, так как корень имеет четную степень (6). Решим неравенство:

$-x \ge 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$x \le 0$

Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

5) Выражение $\sqrt[6]{-x^2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, так как корень имеет четную степень (6). Решим неравенство:

$-x^2 \ge 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$x^2 \le 0$

Поскольку квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$), единственным решением неравенства $x^2 \le 0$ является $x^2 = 0$.

$x=0$

Ответ: $x=0$.

6) Выражение $\sqrt[10]{x^2+2x-8}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, так как корень имеет четную степень (10). Решим неравенство:

$x^2 + 2x - 8 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$

Графиком функции $f(x) = x^2+2x-8$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения, когда переменная находится вне интервала между корнями.

$x \le -4$ или $x \ge 2$

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [2; +\infty)$.