Номер 8.15, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.15. Найдите область значений функции:

1) $y = \sqrt[8]{x} + 2;$

2) $y = \sqrt[4]{x} - 4;$

3) $y = \sqrt[5]{x} - 2.$

1) Для функции $y = \sqrt[8]{x} + 2$.
Область значений функции определяется множеством всех значений, которые может принимать $y$.
Корень восьмой степени ($\sqrt[8]{x}$) является корнем четной степени. Арифметический корень четной степени по определению принимает только неотрицательные значения.
Это означает, что $\sqrt[8]{x} \ge 0$.
Теперь рассмотрим всю функцию $y = \sqrt[8]{x} + 2$. Если мы к неотрицательному значению $\sqrt[8]{x}$ прибавим 2, то получим:
$\sqrt[8]{x} + 2 \ge 0 + 2$
$y \ge 2$
Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные 2.
Ответ: $E(y) = [2, +\infty)$.

2) Для функции $y = \sqrt[4]{x-4}$.
Корень четвертой степени ($\sqrt[4]{...}$) является корнем четной степени. Как и в предыдущем случае, значение корня четной степени не может быть отрицательным.
Поэтому, для любого допустимого значения $x$ (в данном случае $x \ge 4$), выражение $\sqrt[4]{x-4}$ будет принимать только неотрицательные значения.
$\sqrt[4]{x-4} \ge 0$
Так как $y = \sqrt[4]{x-4}$, то $y \ge 0$.
Следовательно, область значений функции — это все неотрицательные числа.
Ответ: $E(y) = [0, +\infty)$.

3) Для функции $y = \sqrt[5]{x} - 2$.
Корень пятой степени ($\sqrt[5]{x}$) является корнем нечетной степени. В отличие от корней четной степени, корень нечетной степени может принимать любые действительные значения, как положительные, так и отрицательные, и ноль.
Областью значений функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$ является множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty, +\infty)$.
Функция $y = \sqrt[5]{x} - 2$ получается из функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$ сдвигом графика на 2 единицы вниз по оси $y$. Такой сдвиг не изменяет область значений, если она уже охватывает все действительные числа.
Таким образом, переменная $y$ может принимать любое действительное значение.
Ответ: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.