Номер 8.9, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.9. Вычислите:

1) $200\sqrt[3]{0,001} - \sqrt[5]{-0,00032} - (-4\sqrt{2})^2;$

2) $\sqrt[3]{8000} \cdot \sqrt[4]{7\frac{58}{81}} - (-\sqrt[5]{8})^5 + \sqrt[7]{17^7}.$

Разберем выражение $200\sqrt[3]{0,001} - \sqrt[5]{-0,00032} - (-4\sqrt{2})^2$ по частям.

1. Вычислим первый член: $200\sqrt[3]{0,001}$.
Так как $0,001 = 10^{-3} = (0,1)^3$, то корень третьей степени из $0,001$ равен $0,1$.
Следовательно, $200 \cdot \sqrt[3]{0,001} = 200 \cdot 0,1 = 20$.

2. Вычислим второй член: $\sqrt[5]{-0,00032}$.
Так как $-0,00032 = -32 \cdot 10^{-5} = (-2 \cdot 10^{-1})^5 = (-0,2)^5$, то корень пятой степени из $-0,00032$ равен $-0,2$.

3. Вычислим третий член: $(-4\sqrt{2})^2$.
Возводим в квадрат каждый множитель: $(-4\sqrt{2})^2 = (-4)^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$.

4. Теперь соберем все части вместе, подставляя вычисленные значения в исходное выражение:
$20 - (-0,2) - 32$
Раскрываем скобки: $20 + 0,2 - 32 = 20,2 - 32 = -11,8$.

Ответ: $-11,8$.

Разберем выражение $\sqrt[3]{8000} \cdot \sqrt[4]{7\frac{58}{81}} - (-\sqrt[5]{8})^5 + \sqrt[7]{17^7}$ по частям.

1. Вычислим первый множитель: $\sqrt[3]{8000}$.
Так как $8000 = 8 \cdot 1000 = 2^3 \cdot 10^3 = (20)^3$, то $\sqrt[3]{8000} = 20$.

2. Вычислим второй множитель: $\sqrt[4]{7\frac{58}{81}}$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $7\frac{58}{81} = \frac{7 \cdot 81 + 58}{81} = \frac{567+58}{81} = \frac{625}{81}$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt[4]{\frac{625}{81}}$.
Поскольку $625 = 5^4$ и $81 = 3^4$, то $\sqrt[4]{\frac{625}{81}} = \sqrt[4]{(\frac{5}{3})^4} = \frac{5}{3}$.

3. Вычислим произведение первых двух членов: $20 \cdot \frac{5}{3} = \frac{100}{3}$.

4. Вычислим третий член: $(-\sqrt[5]{8})^5$.
По определению корня n-й степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Следовательно, $(-\sqrt[5]{8})^5 = (-1)^5 \cdot (\sqrt[5]{8})^5 = -1 \cdot 8 = -8$.

5. Вычислим четвертый член: $\sqrt[7]{17^7}$.
Так как показатель корня нечетный, $\sqrt[n]{a^n} = a$. Следовательно, $\sqrt[7]{17^7} = 17$.

6. Теперь подставим все значения в исходное выражение:
$\frac{100}{3} - (-8) + 17 = \frac{100}{3} + 8 + 17 = \frac{100}{3} + 25$.
Приведем к общему знаменателю: $\frac{100}{3} + \frac{25 \cdot 3}{3} = \frac{100}{3} + \frac{75}{3} = \frac{175}{3}$.
Выделим целую часть для более наглядного ответа: $175 \div 3 = 58$ с остатком $1$. Таким образом, $\frac{175}{3} = 58\frac{1}{3}$.

Ответ: $58\frac{1}{3}$.