Номер 8.3, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.3. Докажите, что:

1) число 2 является арифметическим кубическим корнем из числа 8;

2) число 3 является арифметическим корнем четвёртой степени из числа 81;

3) число -3 не является арифметическим корнем четвёртой степени из числа 81.

1) число 2 является арифметическим кубическим корнем из числа 8;

По определению, арифметическим кубическим корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $x$, что $x^3 = a$. Чтобы доказать, что 2 является арифметическим кубическим корнем из 8, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Число 2 является неотрицательным: $2 \ge 0$. Это условие выполнено.

2. Куб числа 2 равен 8: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Это условие также выполнено.

Поскольку оба условия определения выполняются, число 2 является арифметическим кубическим корнем из числа 8.

Ответ: Доказано.

2) число 3 является арифметическим корнем четвёртой степени из числа 81;

По определению, арифметическим корнем четвёртой степени из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $x$, что $x^4 = a$. Чтобы доказать, что 3 является арифметическим корнем четвёртой степени из 81, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Число 3 является неотрицательным: $3 \ge 0$. Условие выполнено.

2. Четвёртая степень числа 3 равна 81: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$. Условие выполнено.

Так как оба условия определения выполняются, число 3 является арифметическим корнем четвёртой степени из числа 81.

Ответ: Доказано.

3) число –3 не является арифметическим корнем четвёртой степени из числа 81.

По определению, арифметический корень чётной степени (в данном случае, четвёртой) из неотрицательного числа — это всегда неотрицательное число.

Число –3 является отрицательным ($ -3 < 0 $), поэтому оно не может быть арифметическим корнем по определению.

Хотя возведение –3 в четвёртую степень даёт 81 (т.е. $(-3)^4 = 81$), это означает лишь, что –3 является одним из корней уравнения $x^4 = 81$, но не его арифметическим корнем. Арифметическим корнем четвёртой степени из 81 является только число 3.

Ответ: Доказано.