Номер 8.5, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.5. Чему равно значение выражения:

1) $\sqrt[3]{343};$

2) $\sqrt[4]{7\frac{58}{81}};$

3) $0,5\sqrt[3]{-64};$

4) $\sqrt[100]{49^{50}} ?$

1) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{343}$, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень (в куб) даст 343. Таким числом является 7, так как $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$. Следовательно, $\sqrt[3]{343} = 7$.
Ответ: 7

2) Сначала преобразуем смешанное число $7\frac{58}{81}$ в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель: $7 \cdot 81 + 58 = 567 + 58 = 625$. Таким образом, $7\frac{58}{81} = \frac{625}{81}$. Теперь извлечем корень четвертой степени из этой дроби. Используя свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, получаем: $\sqrt[4]{\frac{625}{81}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{81}}$. Найдем корни для числителя и знаменателя. Так как $5^4 = 625$ и $3^4 = 81$, то $\frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{5}{3}$. Дробь можно представить в виде смешанного числа $1\frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{3}$

3) Для решения выражения $0,5\sqrt[3]{-64}$ сначала вычислим корень третьей степени из -64. Корень нечетной степени можно извлекать из отрицательных чисел. Нам нужно найти число, куб которого равен -64. Таким числом является -4, поскольку $(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64$. Теперь умножим полученный результат на 0,5: $0,5 \cdot (-4) = -2$.
Ответ: -2

4) Для вычисления $\sqrt[100]{49^{50}}$ воспользуемся свойствами степеней и корней. Представим основание 49 в виде степени: $49 = 7^2$. Подставим это в выражение: $\sqrt[100]{(7^2)^{50}}$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ упростим подкоренное выражение: $(7^2)^{50} = 7^{2 \cdot 50} = 7^{100}$. Таким образом, исходное выражение равно $\sqrt[100]{7^{100}}$. По определению корня n-ой степени, $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для $a \ge 0$), следовательно, $\sqrt[100]{7^{100}} = 7$.
Ответ: 7