Номер 8.7, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.7. Найдите значение выражения:

1) $( \sqrt[8]{18} )^8$;

2) $( - \sqrt[9]{9} )^9$;

3) $( - \sqrt[6]{11} )^6$;

4) $( \frac{1}{3} \sqrt[3]{45} )^3$;

5) $\frac{1}{3} \sqrt[3]{45^3}$;

6) $( -2 \sqrt[5]{-5} )^5$.

1) Для решения этого примера воспользуемся свойством корня n-ой степени: $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
В данном случае $n=8$ и $a=18$.
Следовательно, $(\sqrt[8]{18})^8 = 18$.
Ответ: $18$.

2) Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$. Так как показатель степени $9$ является нечетным числом, знак минус сохраняется.
$(-\sqrt[9]{9})^9 = (-1)^9 \cdot (\sqrt[9]{9})^9 = -1 \cdot (\sqrt[9]{9})^9$.
Далее применяем свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$:
$-1 \cdot 9 = -9$.
Ответ: $-9$.

3) Снова используем свойство $(ab)^n = a^n b^n$. Так как показатель степени $6$ является четным числом, знак минус при возведении в степень исчезает, так как $(-1)^6 = 1$.
$(-\sqrt[6]{11})^6 = (-1)^6 \cdot (\sqrt[6]{11})^6 = 1 \cdot (\sqrt[6]{11})^6$.
Применяя свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$, получаем:
$1 \cdot 11 = 11$.
Ответ: $11$.

4) Воспользуемся свойством степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$.
$(\frac{1}{3}\sqrt[3]{45})^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (\sqrt[3]{45})^3$.
Вычислим значение каждого множителя по отдельности:
$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$.
$(\sqrt[3]{45})^3 = 45$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$\frac{1}{27} \cdot 45 = \frac{45}{27}$.
Сократим полученную дробь на их общий делитель $9$:
$\frac{45 \div 9}{27 \div 9} = \frac{5}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{3}$.

5) В этом выражении степень находится под знаком корня. Используем свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ (при $a \ge 0$).
$\frac{1}{3}\sqrt[3]{45^3} = \frac{1}{3} \cdot 45$.
Выполним умножение:
$\frac{45}{3} = 15$.
Ответ: $15$.

6) Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$.
$(-2\sqrt[5]{-5})^5 = (-2)^5 \cdot (\sqrt[5]{-5})^5$.
Вычислим значение каждого множителя:
$(-2)^5 = -32$.
Для корня нечетной степени ($n=5$) свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$ справедливо и для отрицательных значений $a$:
$(\sqrt[5]{-5})^5 = -5$.
Перемножим полученные результаты:
$(-32) \cdot (-5) = 160$.
Ответ: $160$.