Номер 8.12, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Определение корня n-й степени. Функция у = n√x. Глава 2. Степенная функция - номер 8.12, страница 68.

8.12. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt[3]{x - 1};$

2) $y = \sqrt[6]{x + 1};$

3) $y = \sqrt[4]{x^2 - x - 2}.$

$\sqrt[3]{x^2 - 4x + 4}$

1) $y = \sqrt[3]{x-1}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция содержит корень нечетной степени (кубический корень). Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, поэтому подкоренное выражение $x-1$ может принимать любые значения (быть положительным, отрицательным или равным нулю). Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается. Областью определения является множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2) $y = \sqrt[6]{x+1}$

Данная функция содержит корень четной степени (корень шестой степени). Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел. Поэтому подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю: $x + 1 \ge 0$ Решим это линейное неравенство: $x \ge -1$ Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные -1.

Ответ: $D(y) = [-1; +\infty)$.

3) $y = \sqrt[4]{\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - x - 2}}$

Для данной функции необходимо выполнение двух условий:
1. Так как корень имеет четную степень (четвертую), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - x - 2} \ge 0$
2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x^2 - x - 2 \ne 0$

Рассмотрим неравенство. Преобразуем числитель и знаменатель.
Числитель: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Это полный квадрат, который всегда неотрицателен: $(x-2)^2 \ge 0$ при любом $x$.
Знаменатель: $x^2 - x - 2$. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9$) находим корни: $x_1 = \frac{1-3}{2} = -1$, $x_2 = \frac{1+3}{2} = 2$. Тогда знаменатель можно разложить на множители: $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$.

Условие $x^2 - x - 2 \ne 0$ означает, что $(x+1)(x-2) \ne 0$, откуда $x \ne -1$ и $x \ne 2$.
Теперь подставим разложенные выражения в исходное неравенство: $\frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-2)} \ge 0$

Так как числитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен, а знаменатель не может быть равен нулю, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был строго положителен. Если числитель равен нулю (при $x=2$), то и знаменатель равен нулю, что недопустимо. Поэтому случай равенства нулю исключается.
Итак, решаем строгое неравенство: $x^2 - x - 2 > 0$ $(x+1)(x-2) > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Корни $x=-1$ и $x=2$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$.
- При $x \in (2; +\infty)$, оба множителя $(x+1)$ и $(x-2)$ положительны, произведение положительно.
- При $x \in (-1; 2)$, множитель $(x+1)$ положителен, а $(x-2)$ отрицателен, произведение отрицательно.
- При $x \in (-\infty; -1)$, оба множителя отрицательны, произведение положительно.
Таким образом, неравенство выполняется на объединении интервалов $(-\infty; -1)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.