Номер 8.11, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.11. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt[4]{x-2};$

2) $y = \sqrt[7]{4-x};$

3) $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^2 - 4x + 4}}.$

1)

Дана функция $y = \sqrt[4]{x} - 2$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция содержит корень четной степени (корень четвертой степени). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным. Следовательно, должно выполняться неравенство:

$x \ge 0$

Таким образом, область определения функции — это все числа $x$, большие или равные нулю.

Ответ: $[0, +\infty)$.

2)

Дана функция $y = \sqrt[7]{4 - x}$.

Функция содержит корень нечетной степени (корень седьмой степени). Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Подкоренное выражение $4 - x$ является многочленом, который определен для всех действительных чисел $x$. Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.

Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

3)

Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^2 - 4x + 4}}$.

Область определения этой функции определяется двумя условиями:

• Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
• Выражение под корнем четной степени (корень восьмой степени) должно быть неотрицательным.

Объединяя эти два условия, получаем, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:

$x^2 - 4x + 4 > 0$

Заметим, что левая часть неравенства является полным квадратом разности:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$(x - 2)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только при $x - 2 = 0$, то есть при $x = 2$. Во всех остальных случаях $(x - 2)^2$ будет строго больше нуля.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=2$.

Ответ: $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.