Номер 8.14, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.14. Найдите область значений функции:

1) $y = \sqrt[4]{x} + 1;$

2) $y = -\sqrt[6]{x} - 2;$

3) $y = \sqrt[3]{x} - 3.$

1) $y = \sqrt[4]{x} + 1$

Областью значений функции называется множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная $y$. Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{x} + 1$. Выражение $\sqrt[4]{x}$ представляет собой арифметический корень четной (четвертой) степени. По определению, значение такого корня для любого неотрицательного подкоренного выражения является неотрицательным числом. Следовательно, для любого $x$ из области определения функции ($x \ge 0$) выполняется неравенство: $\sqrt[4]{x} \ge 0$ Чтобы найти область значений для исходной функции $y$, прибавим 1 к обеим частям этого неравенства: $\sqrt[4]{x} + 1 \ge 0 + 1$ $y \ge 1$ Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные 1.

Ответ: $y \in [1; +\infty)$.

2) $y = -\sqrt[6]{x} - 2$

Рассмотрим функцию $y = -\sqrt[6]{x} - 2$. Выражение $\sqrt[6]{x}$ — это корень четной (шестой) степени, поэтому его значение всегда неотрицательно: $\sqrt[6]{x} \ge 0$ Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-\sqrt[6]{x} \le 0$ Теперь, чтобы получить выражение для $y$, вычтем 2 из обеих частей неравенства: $-\sqrt[6]{x} - 2 \le 0 - 2$ $y \le -2$ Следовательно, область значений данной функции — это все числа, меньшие или равные -2.

Ответ: $y \in (-\infty; -2]$.

3) $y = \sqrt[3]{x} - 3$

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[3]{x} - 3$. Выражение $\sqrt[3]{x}$ — это корень нечетной (третьей) степени. В отличие от корней четной степени, корень нечетной степени определен для любого действительного числа $x$, и его значение также может быть любым действительным числом (положительным, отрицательным или нулем). Область значений функции $f(x) = \sqrt[3]{x}$ — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$. Наша функция $y = \sqrt[3]{x} - 3$ получается из функции $f(x) = \sqrt[3]{x}$ путем сдвига ее графика на 3 единицы вниз вдоль оси ординат. Такой сдвиг не изменяет бесконечную область значений. Если $\sqrt[3]{x}$ может принимать любое значение из $\mathbb{R}$, то и выражение $\sqrt[3]{x} - 3$ также может принимать любое действительное значение.

Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.