Номер 8.20, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.20. Решите уравнение:

1) $\sqrt[3]{x} = \frac{4}{5};$

2) $\sqrt[4]{x} = 3;$

3) $\sqrt[3]{x} = -6;$

4) $\sqrt[6]{x} = -2;$

5) $\sqrt[3]{2x + 7} = 0;$

6) $\sqrt[3]{2x + 7} = 0.$

1) Дано уравнение $\sqrt[3]{x} = \frac{4}{5}$. Чтобы найти $x$, необходимо избавиться от знака кубического корня. Для этого возведем обе части уравнения в третью степень.
$(\sqrt[3]{x})^3 = \left(\frac{4}{5}\right)^3$
$x = \frac{4^3}{5^3}$
$x = \frac{64}{125}$
Так как корень нечетной степени определен для любого действительного числа, никаких дополнительных ограничений нет.
Ответ: $x = \frac{64}{125}$.

2) Дано уравнение $\sqrt[4]{x} = 3$. В данном уравнении корень четной степени. По определению, арифметический корень четной степени не может быть отрицательным, а выражение под корнем должно быть неотрицательным ($x \ge 0$). Правая часть уравнения (3) является положительным числом, поэтому уравнение может иметь решение.
Для нахождения $x$ возведем обе части уравнения в четвертую степень:
$(\sqrt[4]{x})^4 = 3^4$
$x = 81$
Полученное значение удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Ответ: $x = 81$.

3) Дано уравнение $\sqrt[3]{x} = -6$. Корень нечетной степени может принимать любые действительные значения, в том числе и отрицательные.
Возведем обе части уравнения в куб:
$(\sqrt[3]{x})^3 = (-6)^3$
$x = -216$
Ответ: $x = -216$.

4) Дано уравнение $\sqrt[6]{x} = -2$. Левая часть уравнения представляет собой арифметический корень четной (шестой) степени. По определению, значение такого корня всегда является неотрицательным числом, то есть $\sqrt[6]{x} \ge 0$.
Правая часть уравнения равна -2, что является отрицательным числом.
Поскольку неотрицательное значение не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.
Ответ: нет решений.

5) Дано уравнение $\sqrt[3]{2x + 7} = 0$. Чтобы решить его, возведем обе части в третью степень:
$(\sqrt[3]{2x + 7})^3 = 0^3$
$2x + 7 = 0$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$2x = -7$
$x = -\frac{7}{2}$
Ответ: $x = -\frac{7}{2}$.

6) Дано уравнение $\sqrt[3]{2x + 7} = 0$. Это уравнение полностью совпадает с уравнением из пункта 5. Повторим решение.
Возведем обе части уравнения в куб:
$(\sqrt[3]{2x + 7})^3 = 0^3$
$2x + 7 = 0$
Вычтем 7 из обеих частей:
$2x = -7$
Разделим обе части на 2:
$x = -\frac{7}{2}$
Ответ: $x = -\frac{7}{2}$.