Номер 8.21, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.21. Решите уравнение:

1) $\sqrt[3]{x} = -2$;

2) $\sqrt[4]{x} = -2$;

3) $\sqrt[5]{x} = -2$;

4) $\sqrt[4]{3x - 2} = 0$;

5) $\sqrt[4]{3x - 2} = 0$;

6) $\sqrt[4]{3x - 2} = 2$.

1) $\sqrt[3]{x} = -2$

Для решения данного уравнения необходимо возвести обе части в третью степень. Корень нечетной степени (в данном случае, кубический) определен для любого действительного числа, поэтому посторонние корни не появятся.

$(\sqrt[3]{x})^3 = (-2)^3$

$x = -8$

Проверка: $\sqrt[3]{-8} = -2$, что является верным равенством.

Ответ: -8

2) $\sqrt[4]{x} = -2$

Арифметический корень четной степени (в данном случае, четвертой) по определению является неотрицательным числом. То есть, $\sqrt[4]{x} \ge 0$ для любого $x$ из области определения.

Правая часть уравнения равна -2, что является отрицательным числом. Следовательно, равенство $\sqrt[4]{x} = -2$ невозможно ни при каком значении $x$.

Ответ: корней нет

3) $\sqrt[5]{x} = -2$

Поскольку корень нечетной степени (пятой) может быть отрицательным, решаем уравнение, возводя обе его части в пятую степень.

$(\sqrt[5]{x})^5 = (-2)^5$

$x = -32$

Проверка: $\sqrt[5]{-32} = -2$, что верно.

Ответ: -32

4) $\sqrt[4]{3x-2} = 0$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень, чтобы избавиться от знака корня.

$(\sqrt[4]{3x-2})^4 = 0^4$

$3x-2 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

Так как мы решали уравнение с корнем четной степени, необходимо выполнить проверку. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3x-2 \ge 0$.

Подставляем найденный корень: $3 \cdot (\frac{2}{3}) - 2 = 2 - 2 = 0$. Условие $0 \ge 0$ выполняется, значит, корень найден верно.

Ответ: $\frac{2}{3}$

5) $\sqrt[4]{3x-2} = 0$

Это уравнение полностью идентично предыдущему уравнению из пункта 4. Соответственно, и решение, и ответ будут такими же.

Возводим обе части в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{3x-2})^4 = 0^4$

$3x-2 = 0$

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

Проверка показывает, что при $x = \frac{2}{3}$ подкоренное выражение $3x-2 = 0$, что допустимо. Корень является действительным.

Ответ: $\frac{2}{3}$

6) $\sqrt[4]{3x-2} = 2$

Правая часть уравнения — положительное число (2), поэтому уравнение может иметь решение. Возведем обе части уравнения в четвертую степень.

$(\sqrt[4]{3x-2})^4 = 2^4$

$3x-2 = 16$

Решаем полученное линейное уравнение:

$3x = 16 + 2$

$3x = 18$

$x = \frac{18}{3}$

$x = 6$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень области допустимых значений. Подкоренное выражение $3x-2$ должно быть неотрицательным.

Подставляем $x = 6$: $3 \cdot 6 - 2 = 18 - 2 = 16$.

Так как $16 \ge 0$, условие выполняется. Корень найден верно.

Ответ: 6