Номер 8.24, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.24. Между какими двумя последовательными целыми числами находится

на координатной прямой число:

1) $\sqrt[3]{18}$;

2) $\sqrt[4]{139}$;

3) $-\sqrt[3]{212}$?

1)

Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $ \sqrt[3]{18} $, нужно найти два последовательных целых числа $ n $ и $ n+1 $, кубы которых "окружают" число 18. То есть, нужно найти такое целое $ n $, для которого выполняется неравенство: $ n^3 < 18 < (n+1)^3 $.

Рассмотрим кубы последовательных целых чисел:

$ 1^3 = 1 $

$ 2^3 = 8 $

$ 3^3 = 27 $

Мы видим, что $ 8 < 18 < 27 $.

Подставим значения кубов в неравенство:

$ 2^3 < 18 < 3^3 $

Теперь извлечем кубический корень из всех частей неравенства:

$ \sqrt[3]{2^3} < \sqrt[3]{18} < \sqrt[3]{3^3} $

Это приводит к следующему результату:

$ 2 < \sqrt[3]{18} < 3 $

Следовательно, число $ \sqrt[3]{18} $ находится на координатной прямой между числами 2 и 3.

Ответ: 2 и 3.

2)

Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $ \sqrt[4]{139} $, нужно найти два последовательных целых числа $ n $ и $ n+1 $, четвертые степени которых "окружают" число 139. То есть, ищем такое целое $ n $, для которого выполняется неравенство: $ n^4 < 139 < (n+1)^4 $.

Рассмотрим четвертые степени последовательных целых чисел:

$ 1^4 = 1 $

$ 2^4 = 16 $

$ 3^4 = 81 $

$ 4^4 = 256 $

Мы видим, что $ 81 < 139 < 256 $.

Подставим значения четвертых степеней в неравенство:

$ 3^4 < 139 < 4^4 $

Теперь извлечем корень четвертой степени из всех частей неравенства:

$ \sqrt[4]{3^4} < \sqrt[4]{139} < \sqrt[4]{4^4} $

Это приводит к следующему результату:

$ 3 < \sqrt[4]{139} < 4 $

Следовательно, число $ \sqrt[4]{139} $ находится на координатной прямой между числами 3 и 4.

Ответ: 3 и 4.

3)

Сначала определим, между какими целыми числами находится положительное число $ \sqrt[3]{212} $. Для этого найдем два последовательных целых числа $ n $ и $ n+1 $, кубы которых "окружают" число 212. Ищем такое целое $ n $, для которого выполняется неравенство: $ n^3 < 212 < (n+1)^3 $.

Рассмотрим кубы последовательных целых чисел:

$ 5^3 = 125 $

$ 6^3 = 216 $

Мы видим, что $ 125 < 212 < 216 $.

Подставим значения кубов в неравенство:

$ 5^3 < 212 < 6^3 $

Извлечем кубический корень из всех частей неравенства:

$ \sqrt[3]{5^3} < \sqrt[3]{212} < \sqrt[3]{6^3} $

Получаем:

$ 5 < \sqrt[3]{212} < 6 $

Теперь нам нужно найти положение числа $ -\sqrt[3]{212} $. Для этого умножим все части полученного неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$ -5 > -\sqrt[3]{212} > -6 $

Запишем это неравенство в привычном порядке (от меньшего к большему):

$ -6 < -\sqrt[3]{212} < -5 $

Следовательно, число $ -\sqrt[3]{212} $ находится на координатной прямой между числами -6 и -5.

Ответ: -6 и -5.