Номер 8.30, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.30. Постройте график функции:

1) $y = x(\sqrt[4]{x})^{4}$;

2) $y = (\sqrt[8]{2+x})^{8} + (\sqrt[6]{2-x})^{6}$.

1) $y = x(\sqrt[4]{x})^4$
Найдем область определения функции. Выражение $\sqrt[4]{x}$ (корень четной степени) определено только для неотрицательных значений подкоренного выражения. Следовательно, область определения функции (ОДЗ) задается условием $x \ge 0$.
На этой области определения справедливо тождество $(\sqrt[4]{x})^4 = x$.
Таким образом, для $x \ge 0$ функцию можно упростить: $y = x \cdot x = x^2$.
Итак, нам нужно построить график функции $y = x^2$ при условии $x \ge 0$. Это правая ветвь параболы, вершина которой находится в начале координат (0, 0), а ветви направлены вверх.
График проходит через точки (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9) и так далее.
Ответ: Графиком функции является правая ветвь параболы $y=x^2$ с вершиной в точке (0, 0).

2) $y = (\sqrt[8]{2+x})^8 + (\sqrt[6]{2-x})^6$
Найдем область определения функции. Оба слагаемых содержат корни четной степени (8-й и 6-й), поэтому подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств: $$ \begin{cases} 2+x \ge 0 \\ 2-x \ge 0 \end{cases} $$ Решая эту систему, получаем: $$ \begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 2 \end{cases} $$ Следовательно, область определения функции — это отрезок $x \in [-2, 2]$.
Теперь упростим выражение для функции на ее области определения. Поскольку подкоренные выражения неотрицательны, мы можем использовать свойство $(\sqrt[2n]{a})^{2n} = a$ для $a \ge 0$.
$(\sqrt[8]{2+x})^8 = 2+x$
$(\sqrt[6]{2-x})^6 = 2-x$
Подставим упрощенные выражения в исходную функцию: $y = (2+x) + (2-x) = 2+x+2-x = 4$.
Таким образом, на отрезке $[-2, 2]$ функция тождественно равна 4, то есть $y=4$.
Графиком этой функции является отрезок прямой, параллельной оси абсцисс (Ox), расположенный на высоте 4 единицы над ней. Концами этого отрезка являются точки с координатами (-2, 4) и (2, 4).
Ответ: Графиком функции является отрезок прямой $y=4$, концы которого находятся в точках (-2, 4) и (2, 4).