Номер 8.36, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.36. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{32} \cdot \sqrt{2};$

2) $\sqrt{2^3 \cdot 3} \cdot \sqrt{2^5 \cdot 3^3};$

3) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}};$

4) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}}.$

1) Для нахождения значения выражения воспользуемся свойством произведения квадратных корней, согласно которому произведение корней равно корню из произведения подкоренных выражений: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

$\sqrt{32} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{32 \cdot 2} = \sqrt{64}$

Квадратный корень из 64 равен 8.

$\sqrt{64} = 8$

Ответ: 8

2) Аналогично первому пункту, объединим множители под один знак корня. Затем сгруппируем степени с одинаковыми основаниями.

$\sqrt{2^3 \cdot 3} \cdot \sqrt{2^5 \cdot 3^3} = \sqrt{(2^3 \cdot 3) \cdot (2^5 \cdot 3^3)} = \sqrt{2^3 \cdot 2^5 \cdot 3^1 \cdot 3^3}$

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$\sqrt{2^{3+5} \cdot 3^{1+3}} = \sqrt{2^8 \cdot 3^4}$

Теперь извлечем корень, используя свойство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$. Для этого разделим показатели степеней под корнем на 2:

$\sqrt{2^8 \cdot 3^4} = \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^4} = 2^{8/2} \cdot 3^{4/2} = 2^4 \cdot 3^2$

Вычислим полученное значение:

$2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$

Ответ: 144

3) Здесь мы используем свойство частного квадратных корней, согласно которому частное корней равно корню из частного подкоренных выражений: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

$\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{98}{2}} = \sqrt{49}$

Квадратный корень из 49 равен 7.

$\sqrt{49} = 7$

Ответ: 7

4) Преобразуем знаменатель, представив $\sqrt{15}$ в виде произведения корней, а затем сократим дробь.

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3 \cdot 5}}$

Используя свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, перепишем знаменатель:

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}$

Так как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3$, выражение принимает вид:

$\frac{\sqrt{5}}{3 \cdot \sqrt{5}}$

Теперь можно сократить числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$