Номер 8.29, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.29. Постройте график функции:

1) $y=(\sqrt[4]{x-1})^4+(\sqrt[4]{1-x})^4+1;$

2) $y=(\sqrt[6]{x})^6+(\sqrt[6]{1-x})^6.$

1) $y = (\sqrt[4]{x-1})^4 + (\sqrt[4]{1-x})^4 + 1$

Для построения графика функции в первую очередь найдем ее область определения (ОДЗ).

Функция содержит корни четной степени (корень 4-й степени). По определению, подкоренное выражение для корня четной степени должно быть неотрицательным. Таким образом, должны одновременно выполняться два условия:

$ \begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} $

Решим эту систему неравенств:

$ \begin{cases} x \ge 1 \\ x \le 1 \end{cases} $

Единственное число, которое одновременно больше или равно 1 и меньше или равно 1, это $x=1$.

Следовательно, область определения данной функции состоит из единственной точки $x=1$.

Теперь найдем значение функции в этой точке, подставив $x=1$ в исходное уравнение:

$y(1) = (\sqrt[4]{1-1})^4 + (\sqrt[4]{1-1})^4 + 1 = (\sqrt[4]{0})^4 + (\sqrt[4]{0})^4 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

Таким образом, функция определена только в одной точке с координатами $(1, 1)$. Графиком такой функции и будет эта точка.

Ответ: График функции представляет собой одну точку с координатами (1, 1).

2) $y = (\sqrt[6]{x})^6 + (\sqrt[6]{1-x})^6$

Найдем область определения функции. Так как функция содержит корни 6-й степени (четной), подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} $

Решая систему, получаем:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 1 \end{cases} $

Областью определения функции является отрезок $x \in [0, 1]$.

Теперь упростим выражение для функции на этой области определения. Воспользуемся свойством $(\sqrt[n]{a})^n = a$ для $a \ge 0$.

Поскольку на отрезке $[0, 1]$ оба подкоренных выражения, $x$ и $1-x$, являются неотрицательными, мы можем применить это свойство к каждому слагаемому:

$(\sqrt[6]{x})^6 = x$

$(\sqrt[6]{1-x})^6 = 1-x$

Подставим упрощенные выражения обратно в функцию:

$y = x + (1-x) = x + 1 - x = 1$.

Таким образом, для всех $x$ из области определения $[0, 1]$ функция принимает постоянное значение $y=1$.

Графиком данной функции является отрезок прямой, параллельной оси абсцисс, с концами в точках $(0, 1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: График функции – это отрезок прямой $y=1$, где $x \in [0, 1]$.