Номер 8.25, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.25. Постройте график функции:

1) $y = -\sqrt[3]{x};$

2) $y = \sqrt[3]{x} - 2;$

3) $y = \sqrt[3]{x-2};$

4) $y = \sqrt[3]{2-x};$

5) $y = \sqrt[3]{x-2} - 2;$

6) $y = \sqrt[3]{|x|}.$

Для построения всех графиков будем использовать преобразования базового графика функции кубического корня $y = \sqrt[3]{x}$. Этот график является возрастающей функцией, проходит через начало координат и симметричен относительно него. Контрольные точки для графика $y = \sqrt[3]{x}$: $(-8, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(8, 2)$.

График функции $y = -\sqrt[3]{x}$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sqrt[3]{x}$ преобразуется в точку $(x_0, -y_0)$.

Например, точки $(1, 1)$ и $(8, 2)$ перейдут в точки $(1, -1)$ и $(8, -2)$, а точки $(-1, -1)$ и $(-8, -2)$ перейдут в $(-1, 1)$ и $(-8, 2)$. Точка $(0, 0)$ останется на месте. В результате получится убывающая функция, также симметричная относительно начала координат.

Ответ: График функции $y = -\sqrt[3]{x}$ получается путем отражения графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ относительно оси Ox.

График функции $y = \sqrt[3]{x} - 2$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси Oy) на 2 единицы вниз. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sqrt[3]{x}$ преобразуется в точку $(x_0, y_0 - 2)$.

Точка $(0, 0)$ сместится в $(0, -2)$, точка $(1, 1)$ в $(1, -1)$, точка $(8, 2)$ в $(8, 0)$, точка $(-1, -1)$ в $(-1, -3)$. Форма графика при этом не изменится.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x} - 2$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

График функции $y = \sqrt[3]{x - 2}$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (оси Ox) на 2 единицы вправо. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sqrt[3]{x}$ преобразуется в точку $(x_0 + 2, y_0)$.

Точка $(0, 0)$ сместится в $(2, 0)$, точка $(1, 1)$ в $(3, 1)$, точка $(8, 2)$ в $(10, 2)$, точка $(-1, -1)$ в $(1, -1)$. Форма графика не изменится.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x - 2}$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Для построения графика функции $y = \sqrt[3]{2 - x}$ преобразуем выражение: $y = \sqrt[3]{-(x - 2)}$. Это преобразование можно выполнить в два шага из графика $y=\sqrt[3]{x}$:

1. Отразить график $y = \sqrt[3]{x}$ симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график $y = \sqrt[3]{-x}$.
2. Сдвинуть полученный график на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Альтернативно, поскольку $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$, то $y = \sqrt[3]{-(x-2)} = -\sqrt[3]{x-2}$. Это означает, что график можно получить, отразив график функции $y = \sqrt[3]{x - 2}$ (из пункта 3) относительно оси Ox. Получится убывающая функция, проходящая через точку $(2, 0)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{2 - x}$ получается путем отражения графика $y = \sqrt[3]{x}$ относительно оси Oy и последующего сдвига на 2 единицы вправо.

График функции $y = \sqrt[3]{x - 2} - 2$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем двух последовательных параллельных переносов:

1. Сдвиг вдоль оси Ox на 2 единицы вправо (получаем график $y = \sqrt[3]{x - 2}$).
2. Сдвиг полученного графика вдоль оси Oy на 2 единицы вниз.

Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sqrt[3]{x}$ преобразуется в точку $(x_0 + 2, y_0 - 2)$. Центр симметрии графика смещается из $(0, 0)$ в точку $(2, -2)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x - 2} - 2$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ на 2 единицы вправо и на 2 единицы вниз.

Для построения графика функции $y = \sqrt[3]{|x|}$ заметим, что функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt[3]{|-x|} = \sqrt[3]{|x|} = y(x)$. Это значит, что ее график симметричен относительно оси Oy.

Построение графика:

1. Для $x \ge 0$, $|x| = x$, поэтому функция имеет вид $y = \sqrt[3]{x}$. Строим эту часть графика, которая совпадает с базовым графиком в правой полуплоскости.
2. Для $x < 0$, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy.

В результате график будет состоять из двух ветвей, выходящих из точки $(0,0)$. Одна ветвь идет вправо-вверх (как у $y = \sqrt[3]{x}$), а другая — влево-вверх.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{|x|}$ строится так: для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y = \sqrt[3]{x}$, а для $x < 0$ он является симметричным отражением части для $x > 0$ относительно оси Oy.