Номер 8.27, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.27. Решите уравнение:

1) $(x^2 - 4) \sqrt[4]{x+1} = 0;$

2) $(x - 1) \sqrt[10]{x^2 - 2x - 3} = 0.$

1) $(x^2 - 4)\sqrt[4]{x + 1} = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом существуют (определены). Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений при условии соблюдения области допустимых значений (ОДЗ).

Сначала определим ОДЗ. Выражение под корнем четной (четвертой) степени должно быть неотрицательным:
$x + 1 \ge 0$
$x \ge -1$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-1; +\infty)$.

Теперь решим совокупность уравнений:
1) $x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 4$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

2) $\sqrt[4]{x + 1} = 0$
Возведем обе части в четвертую степень:
$x + 1 = 0$
$x_3 = -1$

Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge -1$).
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию ($2 \ge -1$), значит, он является решением уравнения.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию ($-2 < -1$), значит, это посторонний корень.
Корень $x_3 = -1$ удовлетворяет условию ($-1 \ge -1$), значит, он является решением уравнения.

Ответ: $-1; 2$.

2) $(x - 1)\sqrt[10]{x^2 - 2x - 3} = 0$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений при условии, что все выражения в уравнении определены (ОДЗ).

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем четной (десятой) степени должно быть неотрицательным:
$x^2 - 2x - 3 \ge 0$
Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -3$. Отсюда корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[3; +\infty)$.
Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$.

Теперь решим совокупность уравнений:
1) $x - 1 = 0$
$x_1 = 1$

2) $\sqrt[10]{x^2 - 2x - 3} = 0$
Возведем обе части в десятую степень:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Корни этого уравнения уже найдены: $x_2 = 3$, $x_3 = -1$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$).
Корень $x_1 = 1$ не принадлежит ОДЗ, так как $-1 < 1 < 3$. Следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 3$ принадлежит ОДЗ.
Корень $x_3 = -1$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $-1; 3$.