Страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.19. Решите уравнение:

1) $x^9 = 1$;

2) $x^{10} = 1$;

3) $x^{18} = 0$;

4) $x^6 = -64$;

5) $64x^5 + 2 = 0$;

6) $(x - 3)^6 = 729$.

1) $x^9 = 1$

Данное уравнение имеет вид $x^n = a$, где $n=9$ — нечетное число. Уравнение с нечетным показателем степени всегда имеет один действительный корень. Чтобы найти этот корень, нужно извлечь корень степени $n$ из обеих частей уравнения.

$x = \sqrt[9]{1}$

Корень девятой степени из единицы равен единице.

$x = 1$

Ответ: $1$

2) $x^{10} = 1$

Данное уравнение имеет вид $x^n = a$, где $n=10$ — четное число, а $a=1$ — положительное число. Если показатель степени — четное число, а правая часть уравнения положительна, то уравнение имеет два действительных корня, которые являются противоположными числами.

$x = \pm\sqrt[10]{1}$

Корень десятой степени из единицы равен единице.

$x = \pm1$

Следовательно, уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $1; -1$

3) $x^{18} = 0$

Это уравнение вида $x^n = 0$. При любом натуральном показателе степени $n$ такое уравнение имеет единственный корень.

$x = \sqrt[18]{0}$

$x = 0$

Ответ: $0$

4) $x^6 = -64$

В левой части уравнения стоит переменная $x$ в четной степени $n=6$. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным числом, то есть $x^6 \ge 0$ для любого действительного $x$. В правой части уравнения стоит отрицательное число $-64$. Поскольку неотрицательное значение не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет

5) $64x^5 + 2 = 0$

Для решения этого уравнения сначала выразим $x^5$.

Перенесем слагаемое $2$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$64x^5 = -2$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^5$, то есть на $64$:

$x^5 = -\frac{2}{64}$

Сократим полученную дробь:

$x^5 = -\frac{1}{32}$

Мы получили уравнение вида $x^n = a$, где $n=5$ — нечетное число. Оно имеет единственный действительный корень.

$x = \sqrt[5]{-\frac{1}{32}}$

Так как $\left(-\frac{1}{2}\right)^5 = -\frac{1}{32}$, то корень уравнения:

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

6) $(x-3)^6 = 729$

В этом уравнении в четную степень $n=6$ возводится целое выражение $(x-3)$. Пусть $y = x-3$. Тогда уравнение примет вид $y^6 = 729$.

Это уравнение вида $y^n = a$, где $n=6$ — четное число, а $a=729$ — положительное. Уравнение имеет два действительных корня.

$y = \pm\sqrt[6]{729}$

Найдем значение корня. Так как $3^6 = (3^2)^3 = 9^3 = 729$, то $\sqrt[6]{729} = 3$.

Значит, $y = \pm3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, решив два уравнения:

1) $x-3 = 3$

$x = 3 + 3$

$x_1 = 6$

2) $x-3 = -3$

$x = -3 + 3$

$x_2 = 0$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 6$

8.20. Решите уравнение:

1) $\sqrt[3]{x} = \frac{4}{5};$

2) $\sqrt[4]{x} = 3;$

3) $\sqrt[3]{x} = -6;$

4) $\sqrt[6]{x} = -2;$

5) $\sqrt[3]{2x + 7} = 0;$

6) $\sqrt[3]{2x + 7} = 0.$

1) Дано уравнение $\sqrt[3]{x} = \frac{4}{5}$. Чтобы найти $x$, необходимо избавиться от знака кубического корня. Для этого возведем обе части уравнения в третью степень.
$(\sqrt[3]{x})^3 = \left(\frac{4}{5}\right)^3$
$x = \frac{4^3}{5^3}$
$x = \frac{64}{125}$
Так как корень нечетной степени определен для любого действительного числа, никаких дополнительных ограничений нет.
Ответ: $x = \frac{64}{125}$.

2) Дано уравнение $\sqrt[4]{x} = 3$. В данном уравнении корень четной степени. По определению, арифметический корень четной степени не может быть отрицательным, а выражение под корнем должно быть неотрицательным ($x \ge 0$). Правая часть уравнения (3) является положительным числом, поэтому уравнение может иметь решение.
Для нахождения $x$ возведем обе части уравнения в четвертую степень:
$(\sqrt[4]{x})^4 = 3^4$
$x = 81$
Полученное значение удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Ответ: $x = 81$.

3) Дано уравнение $\sqrt[3]{x} = -6$. Корень нечетной степени может принимать любые действительные значения, в том числе и отрицательные.
Возведем обе части уравнения в куб:
$(\sqrt[3]{x})^3 = (-6)^3$
$x = -216$
Ответ: $x = -216$.

4) Дано уравнение $\sqrt[6]{x} = -2$. Левая часть уравнения представляет собой арифметический корень четной (шестой) степени. По определению, значение такого корня всегда является неотрицательным числом, то есть $\sqrt[6]{x} \ge 0$.
Правая часть уравнения равна -2, что является отрицательным числом.
Поскольку неотрицательное значение не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.
Ответ: нет решений.

5) Дано уравнение $\sqrt[3]{2x + 7} = 0$. Чтобы решить его, возведем обе части в третью степень:
$(\sqrt[3]{2x + 7})^3 = 0^3$
$2x + 7 = 0$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$2x = -7$
$x = -\frac{7}{2}$
Ответ: $x = -\frac{7}{2}$.

6) Дано уравнение $\sqrt[3]{2x + 7} = 0$. Это уравнение полностью совпадает с уравнением из пункта 5. Повторим решение.
Возведем обе части уравнения в куб:
$(\sqrt[3]{2x + 7})^3 = 0^3$
$2x + 7 = 0$
Вычтем 7 из обеих частей:
$2x = -7$
Разделим обе части на 2:
$x = -\frac{7}{2}$
Ответ: $x = -\frac{7}{2}$.

8.21. Решите уравнение:

1) $\sqrt[3]{x} = -2$;

2) $\sqrt[4]{x} = -2$;

3) $\sqrt[5]{x} = -2$;

4) $\sqrt[4]{3x - 2} = 0$;

5) $\sqrt[4]{3x - 2} = 0$;

6) $\sqrt[4]{3x - 2} = 2$.

1) $\sqrt[3]{x} = -2$

Для решения данного уравнения необходимо возвести обе части в третью степень. Корень нечетной степени (в данном случае, кубический) определен для любого действительного числа, поэтому посторонние корни не появятся.

$(\sqrt[3]{x})^3 = (-2)^3$

$x = -8$

Проверка: $\sqrt[3]{-8} = -2$, что является верным равенством.

Ответ: -8

2) $\sqrt[4]{x} = -2$

Арифметический корень четной степени (в данном случае, четвертой) по определению является неотрицательным числом. То есть, $\sqrt[4]{x} \ge 0$ для любого $x$ из области определения.

Правая часть уравнения равна -2, что является отрицательным числом. Следовательно, равенство $\sqrt[4]{x} = -2$ невозможно ни при каком значении $x$.

Ответ: корней нет

3) $\sqrt[5]{x} = -2$

Поскольку корень нечетной степени (пятой) может быть отрицательным, решаем уравнение, возводя обе его части в пятую степень.

$(\sqrt[5]{x})^5 = (-2)^5$

$x = -32$

Проверка: $\sqrt[5]{-32} = -2$, что верно.

Ответ: -32

4) $\sqrt[4]{3x-2} = 0$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень, чтобы избавиться от знака корня.

$(\sqrt[4]{3x-2})^4 = 0^4$

$3x-2 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

Так как мы решали уравнение с корнем четной степени, необходимо выполнить проверку. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3x-2 \ge 0$.

Подставляем найденный корень: $3 \cdot (\frac{2}{3}) - 2 = 2 - 2 = 0$. Условие $0 \ge 0$ выполняется, значит, корень найден верно.

Ответ: $\frac{2}{3}$

5) $\sqrt[4]{3x-2} = 0$

Это уравнение полностью идентично предыдущему уравнению из пункта 4. Соответственно, и решение, и ответ будут такими же.

Возводим обе части в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{3x-2})^4 = 0^4$

$3x-2 = 0$

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

Проверка показывает, что при $x = \frac{2}{3}$ подкоренное выражение $3x-2 = 0$, что допустимо. Корень является действительным.

Ответ: $\frac{2}{3}$

6) $\sqrt[4]{3x-2} = 2$

Правая часть уравнения — положительное число (2), поэтому уравнение может иметь решение. Возведем обе части уравнения в четвертую степень.

$(\sqrt[4]{3x-2})^4 = 2^4$

$3x-2 = 16$

Решаем полученное линейное уравнение:

$3x = 16 + 2$

$3x = 18$

$x = \frac{18}{3}$

$x = 6$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень области допустимых значений. Подкоренное выражение $3x-2$ должно быть неотрицательным.

Подставляем $x = 6$: $3 \cdot 6 - 2 = 18 - 2 = 16$.

Так как $16 \ge 0$, условие выполняется. Корень найден верно.

Ответ: 6

8.22. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[3]{x})^3$;

2) $y = (\sqrt[4]{x})^4$.

1)

Рассмотрим функцию $y = (\sqrt[3]{x})^3$.

Сначала найдем область определения функции. Кубический корень (корень нечетной степени) определен для любого действительного числа $x$. Следовательно, область определения данной функции $D(y)$ — это множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь упростим данное выражение. По определению корня $n$-й степени, для любого нечетного $n$ и любого действительного числа $a$ справедливо тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$. В нашем случае $n=3$, поэтому для любого $x$ из области определения выполняется равенство $(\sqrt[3]{x})^3 = x$.

Таким образом, исходная функция тождественно равна функции $y = x$.

Графиком функции $y = x$ является прямая, которая проходит через начало координат (точку $(0;0)$) и является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Ответ: Графиком функции $y = (\sqrt[3]{x})^3$ является прямая $y=x$.

2)

Рассмотрим функцию $y = (\sqrt[4]{x})^4$.

Найдем область определения этой функции. Корень четвертой степени (корень четной степени) определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Поэтому для данной функции должно выполняться условие $x \ge 0$. Область определения функции $D(y)$ — это числовой луч $[0; +\infty)$.

Упростим выражение. По определению корня $n$-й степени, для любого четного $n$ и любого неотрицательного числа $a$ справедливо тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$. В нашем случае $n=4$, поэтому для всех $x$ из области определения ($x \ge 0$) выполняется равенство $(\sqrt[4]{x})^4 = x$.

Таким образом, исходная функция тождественно равна функции $y = x$ на ее области определения, то есть при $x \ge 0$.

Графиком функции $y = x$ при условии $x \ge 0$ является луч, выходящий из начала координат (точки $(0;0)$) и являющийся биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: Графиком функции $y = (\sqrt[4]{x})^4$ является луч $y=x$, где $x \ge 0$.

8.23. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:

1) $\sqrt[3]{3}$;

2) $\sqrt[4]{21}$;

3) $\sqrt[3]{100}$;

4) $-\sqrt[3]{81}$?

1) Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt[3]{3}$, нужно найти два последовательных целых числа, кубы которых "окружают" число 3.
Рассмотрим кубы целых чисел: $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$.
Так как $1 < 3 < 8$, мы можем записать неравенство: $1 < 3 < 8$.
Поскольку функция $y=\sqrt[3]{x}$ является возрастающей, извлечем кубический корень из всех частей неравенства, сохранив знаки: $\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{8}$.
Это дает нам $1 < \sqrt[3]{3} < 2$.
Следовательно, число $\sqrt[3]{3}$ находится между целыми числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

2) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt[4]{21}$, найдем два последовательных целых числа, четвертые степени которых "окружают" число 21.
Рассмотрим четвертые степени целых чисел: $2^4 = 16$ и $3^4 = 81$.
Поскольку $16 < 21 < 81$, мы можем составить неравенство: $16 < 21 < 81$.
Извлечем корень четвертой степени из всех частей этого неравенства: $\sqrt[4]{16} < \sqrt[4]{21} < \sqrt[4]{81}$.
Это упрощается до $2 < \sqrt[4]{21} < 3$.
Таким образом, число $\sqrt[4]{21}$ находится между целыми числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

3) Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt[3]{100}$, нам нужно найти два последовательных целых числа, кубы которых "окружают" число 100.
Рассмотрим кубы целых чисел: $4^3 = 64$ и $5^3 = 125$.
Так как $64 < 100 < 125$, мы можем записать неравенство: $64 < 100 < 125$.
Извлечем кубический корень из всех частей неравенства: $\sqrt[3]{64} < \sqrt[3]{100} < \sqrt[3]{125}$.
Это дает нам $4 < \sqrt[3]{100} < 5$.
Следовательно, число $\sqrt[3]{100}$ находится между целыми числами 4 и 5.
Ответ: 4 и 5.

4) Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $-\sqrt[3]{81}$, сначала определим положение числа $\sqrt[3]{81}$.
Найдем два последовательных целых числа, кубы которых "окружают" число 81.
Рассмотрим кубы целых чисел: $4^3 = 64$ и $5^3 = 125$.
Поскольку $64 < 81 < 125$, мы можем записать неравенство: $64 < 81 < 125$.
Извлечем кубический корень из всех частей: $\sqrt[3]{64} < \sqrt[3]{81} < \sqrt[3]{125}$.
Это дает нам $4 < \sqrt[3]{81} < 5$.
Теперь умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $-4 > -\sqrt[3]{81} > -5$.
Запишем это в привычном порядке возрастания: $-5 < -\sqrt[3]{81} < -4$.
Таким образом, число $-\sqrt[3]{81}$ находится между целыми числами -5 и -4.
Ответ: -5 и -4.

8.24. Между какими двумя последовательными целыми числами находится

на координатной прямой число:

1) $\sqrt[3]{18}$;

2) $\sqrt[4]{139}$;

3) $-\sqrt[3]{212}$?

1)

Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $ \sqrt[3]{18} $, нужно найти два последовательных целых числа $ n $ и $ n+1 $, кубы которых "окружают" число 18. То есть, нужно найти такое целое $ n $, для которого выполняется неравенство: $ n^3 < 18 < (n+1)^3 $.

Рассмотрим кубы последовательных целых чисел:

$ 1^3 = 1 $

$ 2^3 = 8 $

$ 3^3 = 27 $

Мы видим, что $ 8 < 18 < 27 $.

Подставим значения кубов в неравенство:

$ 2^3 < 18 < 3^3 $

Теперь извлечем кубический корень из всех частей неравенства:

$ \sqrt[3]{2^3} < \sqrt[3]{18} < \sqrt[3]{3^3} $

Это приводит к следующему результату:

$ 2 < \sqrt[3]{18} < 3 $

Следовательно, число $ \sqrt[3]{18} $ находится на координатной прямой между числами 2 и 3.

Ответ: 2 и 3.

2)

Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $ \sqrt[4]{139} $, нужно найти два последовательных целых числа $ n $ и $ n+1 $, четвертые степени которых "окружают" число 139. То есть, ищем такое целое $ n $, для которого выполняется неравенство: $ n^4 < 139 < (n+1)^4 $.

Рассмотрим четвертые степени последовательных целых чисел:

$ 1^4 = 1 $

$ 2^4 = 16 $

$ 3^4 = 81 $

$ 4^4 = 256 $

Мы видим, что $ 81 < 139 < 256 $.

Подставим значения четвертых степеней в неравенство:

$ 3^4 < 139 < 4^4 $

Теперь извлечем корень четвертой степени из всех частей неравенства:

$ \sqrt[4]{3^4} < \sqrt[4]{139} < \sqrt[4]{4^4} $

Это приводит к следующему результату:

$ 3 < \sqrt[4]{139} < 4 $

Следовательно, число $ \sqrt[4]{139} $ находится на координатной прямой между числами 3 и 4.

Ответ: 3 и 4.

3)

Сначала определим, между какими целыми числами находится положительное число $ \sqrt[3]{212} $. Для этого найдем два последовательных целых числа $ n $ и $ n+1 $, кубы которых "окружают" число 212. Ищем такое целое $ n $, для которого выполняется неравенство: $ n^3 < 212 < (n+1)^3 $.

Рассмотрим кубы последовательных целых чисел:

$ 5^3 = 125 $

$ 6^3 = 216 $

Мы видим, что $ 125 < 212 < 216 $.

Подставим значения кубов в неравенство:

$ 5^3 < 212 < 6^3 $

Извлечем кубический корень из всех частей неравенства:

$ \sqrt[3]{5^3} < \sqrt[3]{212} < \sqrt[3]{6^3} $

Получаем:

$ 5 < \sqrt[3]{212} < 6 $

Теперь нам нужно найти положение числа $ -\sqrt[3]{212} $. Для этого умножим все части полученного неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$ -5 > -\sqrt[3]{212} > -6 $

Запишем это неравенство в привычном порядке (от меньшего к большему):

$ -6 < -\sqrt[3]{212} < -5 $

Следовательно, число $ -\sqrt[3]{212} $ находится на координатной прямой между числами -6 и -5.

Ответ: -6 и -5.

8.25. Постройте график функции:

1) $y = -\sqrt[3]{x};$

2) $y = \sqrt[3]{x} - 2;$

3) $y = \sqrt[3]{x-2};$

4) $y = \sqrt[3]{2-x};$

5) $y = \sqrt[3]{x-2} - 2;$

6) $y = \sqrt[3]{|x|}.$

Для построения всех графиков будем использовать преобразования базового графика функции кубического корня $y = \sqrt[3]{x}$. Этот график является возрастающей функцией, проходит через начало координат и симметричен относительно него. Контрольные точки для графика $y = \sqrt[3]{x}$: $(-8, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(8, 2)$.

График функции $y = -\sqrt[3]{x}$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sqrt[3]{x}$ преобразуется в точку $(x_0, -y_0)$.

Например, точки $(1, 1)$ и $(8, 2)$ перейдут в точки $(1, -1)$ и $(8, -2)$, а точки $(-1, -1)$ и $(-8, -2)$ перейдут в $(-1, 1)$ и $(-8, 2)$. Точка $(0, 0)$ останется на месте. В результате получится убывающая функция, также симметричная относительно начала координат.

Ответ: График функции $y = -\sqrt[3]{x}$ получается путем отражения графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ относительно оси Ox.

График функции $y = \sqrt[3]{x} - 2$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси Oy) на 2 единицы вниз. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sqrt[3]{x}$ преобразуется в точку $(x_0, y_0 - 2)$.

Точка $(0, 0)$ сместится в $(0, -2)$, точка $(1, 1)$ в $(1, -1)$, точка $(8, 2)$ в $(8, 0)$, точка $(-1, -1)$ в $(-1, -3)$. Форма графика при этом не изменится.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x} - 2$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

График функции $y = \sqrt[3]{x - 2}$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (оси Ox) на 2 единицы вправо. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sqrt[3]{x}$ преобразуется в точку $(x_0 + 2, y_0)$.

Точка $(0, 0)$ сместится в $(2, 0)$, точка $(1, 1)$ в $(3, 1)$, точка $(8, 2)$ в $(10, 2)$, точка $(-1, -1)$ в $(1, -1)$. Форма графика не изменится.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x - 2}$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Для построения графика функции $y = \sqrt[3]{2 - x}$ преобразуем выражение: $y = \sqrt[3]{-(x - 2)}$. Это преобразование можно выполнить в два шага из графика $y=\sqrt[3]{x}$:

1. Отразить график $y = \sqrt[3]{x}$ симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график $y = \sqrt[3]{-x}$.
2. Сдвинуть полученный график на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Альтернативно, поскольку $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$, то $y = \sqrt[3]{-(x-2)} = -\sqrt[3]{x-2}$. Это означает, что график можно получить, отразив график функции $y = \sqrt[3]{x - 2}$ (из пункта 3) относительно оси Ox. Получится убывающая функция, проходящая через точку $(2, 0)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{2 - x}$ получается путем отражения графика $y = \sqrt[3]{x}$ относительно оси Oy и последующего сдвига на 2 единицы вправо.

График функции $y = \sqrt[3]{x - 2} - 2$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем двух последовательных параллельных переносов:

1. Сдвиг вдоль оси Ox на 2 единицы вправо (получаем график $y = \sqrt[3]{x - 2}$).
2. Сдвиг полученного графика вдоль оси Oy на 2 единицы вниз.

Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sqrt[3]{x}$ преобразуется в точку $(x_0 + 2, y_0 - 2)$. Центр симметрии графика смещается из $(0, 0)$ в точку $(2, -2)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x - 2} - 2$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ на 2 единицы вправо и на 2 единицы вниз.

Для построения графика функции $y = \sqrt[3]{|x|}$ заметим, что функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt[3]{|-x|} = \sqrt[3]{|x|} = y(x)$. Это значит, что ее график симметричен относительно оси Oy.

Построение графика:

1. Для $x \ge 0$, $|x| = x$, поэтому функция имеет вид $y = \sqrt[3]{x}$. Строим эту часть графика, которая совпадает с базовым графиком в правой полуплоскости.
2. Для $x < 0$, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy.

В результате график будет состоять из двух ветвей, выходящих из точки $(0,0)$. Одна ветвь идет вправо-вверх (как у $y = \sqrt[3]{x}$), а другая — влево-вверх.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{|x|}$ строится так: для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y = \sqrt[3]{x}$, а для $x < 0$ он является симметричным отражением части для $x > 0$ относительно оси Oy.

8.26. Постройте график функции:

1) $y = -\sqrt[4]{x}$;

2) $y = \sqrt[4]{-x}$;

3) $y = \sqrt[4]{x + 3}$;

4) $y = \sqrt[4]{x + 3}$;

5) $y = \sqrt[4]{x + 3} + 1$;

6) $y = \sqrt[4]{|x|}$.

Для построения графиков всех заданных функций в качестве основы будем использовать график функции $y = \sqrt[4]{x}$.

Это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. График начинается в точке $(0; 0)$ и медленно возрастает. Он проходит через контрольные точки $(0; 0)$, $(1; 1)$ и $(16; 2)$. Область определения функции $D(y) = [0; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

1) $y = -\sqrt[4]{x}$

Чтобы построить график функции $y = -\sqrt[4]{x}$, нужно взять график базовой функции $y = \sqrt[4]{x}$ и отразить его симметрично относительно оси абсцисс (оси Ox). При этом ордината каждой точки графика меняет свой знак на противоположный, а абсцисса остается той же.

Область определения функции не меняется: $D(y) = [0; +\infty)$. Область значений становится $E(y) = (-\infty; 0]$. Контрольные точки преобразуются следующим образом: $(0; 0) \rightarrow (0; 0)$, $(1; 1) \rightarrow (1; -1)$, $(16; 2) \rightarrow (16; -2)$.

Ответ: График функции $y = -\sqrt[4]{x}$ — это ветвь параболы, расположенная в четвертой координатной четверти, симметричная графику $y=\sqrt[4]{x}$ относительно оси Ox.

2) $y = \sqrt[4]{-x}$

Чтобы построить график функции $y = \sqrt[4]{-x}$, нужно взять график базовой функции $y = \sqrt[4]{x}$ и отразить его симметрично относительно оси ординат (оси Oy). При этом абсцисса каждой точки графика меняет свой знак на противоположный, а ордината остается той же.

Область определения функции: $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$, следовательно, $D(y) = (-\infty; 0]$. Область значений не меняется: $E(y) = [0; +\infty)$. Контрольные точки преобразуются: $(0; 0) \rightarrow (0; 0)$, $(1; 1) \rightarrow (-1; 1)$, $(16; 2) \rightarrow (-16; 2)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{-x}$ — это ветвь параболы, расположенная во второй координатной четверти, симметричная графику $y=\sqrt[4]{x}$ относительно оси Oy.

3) $y = \sqrt[4]{x} + 3$

Чтобы построить график функции $y = \sqrt[4]{x} + 3$, нужно график базовой функции $y = \sqrt[4]{x}$ сдвинуть на 3 единицы вверх вдоль оси Oy. Это преобразование вида $y = f(x) + c$.

Область определения не меняется: $D(y) = [0; +\infty)$. Область значений сдвигается на 3 вверх: $E(y) = [3; +\infty)$. Начальная точка графика перемещается из $(0; 0)$ в $(0; 3)$. Другие контрольные точки: $(1; 1) \rightarrow (1; 4)$, $(16; 2) \rightarrow (16; 5)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{x} + 3$ получается из графика $y = \sqrt[4]{x}$ параллельным переносом на 3 единицы вверх.

4) $y = \sqrt[4]{x+3}$

Чтобы построить график функции $y = \sqrt[4]{x+3}$, нужно график базовой функции $y = \sqrt[4]{x}$ сдвинуть на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Это преобразование вида $y = f(x+c)$.

Область определения сдвигается на 3 влево: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$, то есть $D(y) = [-3; +\infty)$. Область значений не меняется: $E(y) = [0; +\infty)$. Начальная точка графика перемещается из $(0; 0)$ в $(-3; 0)$. Другие контрольные точки: $(1; 1) \rightarrow (-2; 1)$, $(16; 2) \rightarrow (13; 2)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{x+3}$ получается из графика $y = \sqrt[4]{x}$ параллельным переносом на 3 единицы влево.

5) $y = \sqrt[4]{x+3} + 1$

Построение этого графика можно выполнить в два шага: сначала сдвинуть график $y = \sqrt[4]{x}$ на 3 единицы влево, чтобы получить график $y = \sqrt[4]{x+3}$, а затем сдвинуть полученный график на 1 единицу вверх. Это комбинированное преобразование $y = f(x+c) + d$.

Область определения: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$, то есть $D(y) = [-3; +\infty)$. Область значений: $y \ge 1$, то есть $E(y) = [1; +\infty)$. Начальная точка графика перемещается из $(0; 0)$ в $(-3; 1)$. Другие контрольные точки: $(1; 1) \rightarrow (-2; 2)$, $(16; 2) \rightarrow (13; 3)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{x+3} + 1$ получается из графика $y = \sqrt[4]{x}$ параллельным переносом на 3 единицы влево и на 1 единицу вверх.

6) $y = \sqrt[4]{|x|}$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt[4]{|-x|} = \sqrt[4]{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy. Для построения графика достаточно построить его часть для $x \ge 0$ и затем отразить ее симметрично относительно оси Oy.

При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt[4]{x}$. Эта часть графика совпадает с графиком базовой функции. Область определения функции: $|x| \ge 0$ верно для всех действительных $x$, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$. Контрольные точки: $(0; 0)$, $(1; 1)$ и $(-1; 1)$, $(16; 2)$ и $(-16; 2)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{|x|}$ состоит из графика функции $y = \sqrt[4]{x}$ для $x \ge 0$ и его симметричного отражения относительно оси Oy для $x < 0$.

8.27. Решите уравнение:

1) $(x^2 - 4) \sqrt[4]{x+1} = 0;$

2) $(x - 1) \sqrt[10]{x^2 - 2x - 3} = 0.$

1) $(x^2 - 4)\sqrt[4]{x + 1} = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом существуют (определены). Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений при условии соблюдения области допустимых значений (ОДЗ).

Сначала определим ОДЗ. Выражение под корнем четной (четвертой) степени должно быть неотрицательным:
$x + 1 \ge 0$
$x \ge -1$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-1; +\infty)$.

Теперь решим совокупность уравнений:
1) $x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 4$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

2) $\sqrt[4]{x + 1} = 0$
Возведем обе части в четвертую степень:
$x + 1 = 0$
$x_3 = -1$

Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge -1$).
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию ($2 \ge -1$), значит, он является решением уравнения.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию ($-2 < -1$), значит, это посторонний корень.
Корень $x_3 = -1$ удовлетворяет условию ($-1 \ge -1$), значит, он является решением уравнения.

Ответ: $-1; 2$.

2) $(x - 1)\sqrt[10]{x^2 - 2x - 3} = 0$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений при условии, что все выражения в уравнении определены (ОДЗ).

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем четной (десятой) степени должно быть неотрицательным:
$x^2 - 2x - 3 \ge 0$
Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -3$. Отсюда корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[3; +\infty)$.
Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$.

Теперь решим совокупность уравнений:
1) $x - 1 = 0$
$x_1 = 1$

2) $\sqrt[10]{x^2 - 2x - 3} = 0$
Возведем обе части в десятую степень:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Корни этого уравнения уже найдены: $x_2 = 3$, $x_3 = -1$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$).
Корень $x_1 = 1$ не принадлежит ОДЗ, так как $-1 < 1 < 3$. Следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 3$ принадлежит ОДЗ.
Корень $x_3 = -1$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $-1; 3$.

8.28. Решите уравнение:

1) $(|x|-3)\sqrt[6]{2-x}=0;$

2) $(x+2)\sqrt[6]{x^2+2x-3}=0.$

1) $(|x| - 3)\sqrt[6]{2 - x} = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл. Выражение $\sqrt[6]{2 - x}$ имеет смысл при условии (область допустимых значений, ОДЗ):

$2 - x \ge 0$

$x \le 2$

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений с учетом ОДЗ:

а) $|x| - 3 = 0$

$|x| = 3$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

б) $\sqrt[6]{2 - x} = 0$

Возведя обе части в шестую степень, получаем:

$2 - x = 0$

$x_3 = 2$

Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений $x \le 2$.

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $3 \le 2$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет условию $-3 \le 2$, следовательно, он является решением уравнения.

Корень $x_3 = 2$ удовлетворяет условию $2 \le 2$, следовательно, он также является решением уравнения.

Ответ: $-3; 2$.

2) $(x + 2)\sqrt[6]{x^2 + 2x - 3} = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой выражение под корнем неотрицательно:

$x^2 + 2x - 3 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + 2x - 3$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 + 2x - 3 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

Рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:

а) $x + 2 = 0$

$x_1 = -2$

б) $\sqrt[6]{x^2 + 2x - 3} = 0$

Возведя обе части в шестую степень, получаем:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Корнями этого уравнения являются $x_2 = -3$ и $x_3 = 1$.

Теперь проверим, принадлежат ли найденные значения ОДЗ: $x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$.

Корень $x_1 = -2$ не принадлежит ОДЗ, так как $-3 < -2 < 1$. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -3$ принадлежит ОДЗ, так как $-3 \in (-\infty; -3]$. Следовательно, это решение.

Корень $x_3 = 1$ принадлежит ОДЗ, так как $1 \in [1; +\infty)$. Следовательно, это решение.

Ответ: $-3; 1$.

8.29. Постройте график функции:

1) $y=(\sqrt[4]{x-1})^4+(\sqrt[4]{1-x})^4+1;$

2) $y=(\sqrt[6]{x})^6+(\sqrt[6]{1-x})^6.$

1) $y = (\sqrt[4]{x-1})^4 + (\sqrt[4]{1-x})^4 + 1$

Для построения графика функции в первую очередь найдем ее область определения (ОДЗ).

Функция содержит корни четной степени (корень 4-й степени). По определению, подкоренное выражение для корня четной степени должно быть неотрицательным. Таким образом, должны одновременно выполняться два условия:

$ \begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} $

Решим эту систему неравенств:

$ \begin{cases} x \ge 1 \\ x \le 1 \end{cases} $

Единственное число, которое одновременно больше или равно 1 и меньше или равно 1, это $x=1$.

Следовательно, область определения данной функции состоит из единственной точки $x=1$.

Теперь найдем значение функции в этой точке, подставив $x=1$ в исходное уравнение:

$y(1) = (\sqrt[4]{1-1})^4 + (\sqrt[4]{1-1})^4 + 1 = (\sqrt[4]{0})^4 + (\sqrt[4]{0})^4 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

Таким образом, функция определена только в одной точке с координатами $(1, 1)$. Графиком такой функции и будет эта точка.

Ответ: График функции представляет собой одну точку с координатами (1, 1).

2) $y = (\sqrt[6]{x})^6 + (\sqrt[6]{1-x})^6$

Найдем область определения функции. Так как функция содержит корни 6-й степени (четной), подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} $

Решая систему, получаем:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 1 \end{cases} $

Областью определения функции является отрезок $x \in [0, 1]$.

Теперь упростим выражение для функции на этой области определения. Воспользуемся свойством $(\sqrt[n]{a})^n = a$ для $a \ge 0$.

Поскольку на отрезке $[0, 1]$ оба подкоренных выражения, $x$ и $1-x$, являются неотрицательными, мы можем применить это свойство к каждому слагаемому:

$(\sqrt[6]{x})^6 = x$

$(\sqrt[6]{1-x})^6 = 1-x$

Подставим упрощенные выражения обратно в функцию:

$y = x + (1-x) = x + 1 - x = 1$.

Таким образом, для всех $x$ из области определения $[0, 1]$ функция принимает постоянное значение $y=1$.

Графиком данной функции является отрезок прямой, параллельной оси абсцисс, с концами в точках $(0, 1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: График функции – это отрезок прямой $y=1$, где $x \in [0, 1]$.

8.30. Постройте график функции:

1) $y = x(\sqrt[4]{x})^{4}$;

2) $y = (\sqrt[8]{2+x})^{8} + (\sqrt[6]{2-x})^{6}$.

1) $y = x(\sqrt[4]{x})^4$
Найдем область определения функции. Выражение $\sqrt[4]{x}$ (корень четной степени) определено только для неотрицательных значений подкоренного выражения. Следовательно, область определения функции (ОДЗ) задается условием $x \ge 0$.
На этой области определения справедливо тождество $(\sqrt[4]{x})^4 = x$.
Таким образом, для $x \ge 0$ функцию можно упростить: $y = x \cdot x = x^2$.
Итак, нам нужно построить график функции $y = x^2$ при условии $x \ge 0$. Это правая ветвь параболы, вершина которой находится в начале координат (0, 0), а ветви направлены вверх.
График проходит через точки (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9) и так далее.
Ответ: Графиком функции является правая ветвь параболы $y=x^2$ с вершиной в точке (0, 0).

2) $y = (\sqrt[8]{2+x})^8 + (\sqrt[6]{2-x})^6$
Найдем область определения функции. Оба слагаемых содержат корни четной степени (8-й и 6-й), поэтому подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств: $$ \begin{cases} 2+x \ge 0 \\ 2-x \ge 0 \end{cases} $$ Решая эту систему, получаем: $$ \begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 2 \end{cases} $$ Следовательно, область определения функции — это отрезок $x \in [-2, 2]$.
Теперь упростим выражение для функции на ее области определения. Поскольку подкоренные выражения неотрицательны, мы можем использовать свойство $(\sqrt[2n]{a})^{2n} = a$ для $a \ge 0$.
$(\sqrt[8]{2+x})^8 = 2+x$
$(\sqrt[6]{2-x})^6 = 2-x$
Подставим упрощенные выражения в исходную функцию: $y = (2+x) + (2-x) = 2+x+2-x = 4$.
Таким образом, на отрезке $[-2, 2]$ функция тождественно равна 4, то есть $y=4$.
Графиком этой функции является отрезок прямой, параллельной оси абсцисс (Ox), расположенный на высоте 4 единицы над ней. Концами этого отрезка являются точки с координатами (-2, 4) и (2, 4).
Ответ: Графиком функции является отрезок прямой $y=4$, концы которого находятся в точках (-2, 4) и (2, 4).

8.31. Решите неравенство:

1) $\sqrt[6]{x-1} > 2$;

2) $\sqrt[3]{3x+1} < 4$;

3) $\sqrt[8]{4x+1} \leq 1$.

1)

Дано неравенство $\sqrt[6]{x-1} > 2$.

Поскольку корень имеет четную степень (6), выражение под корнем должно быть неотрицательным. Это является областью допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

$x - 1 \ge 0$

$x \ge 1$

Обе части исходного неравенства являются неотрицательными числами, поэтому мы можем возвести обе части в 6-ю степень. Знак неравенства при этом не изменится.

$(\sqrt[6]{x-1})^6 > 2^6$

Выполним вычисления:

$x - 1 > 64$

Перенесем -1 в правую часть:

$x > 64 + 1$

$x > 65$

Теперь нужно учесть ОДЗ. Составим систему из полученного решения и ОДЗ:

$\begin{cases} x > 65 \\ x \ge 1 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x > 65$.

Ответ: $x \in (65; +\infty)$.

2)

Дано неравенство $\sqrt[3]{3x+1} < 4$.

Поскольку корень имеет нечетную степень (3), выражение под корнем может быть любым действительным числом. Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Мы можем возвести обе части неравенства в 3-ю степень. Так как степень нечетная, знак неравенства сохраняется.

$(\sqrt[3]{3x+1})^3 < 4^3$

Выполним вычисления:

$3x + 1 < 64$

Решим полученное линейное неравенство:

$3x < 64 - 1$

$3x < 63$

$x < \frac{63}{3}$

$x < 21$

Так как ОДЗ не накладывает никаких ограничений, это и есть окончательное решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 21)$.

3)

Дано неравенство $\sqrt[8]{4x+1} \le 1$.

Корень имеет четную степень (8), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$4x + 1 \ge 0$

$4x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{4}$

Обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в 8-ю степень, сохраняя знак неравенства.

$(\sqrt[8]{4x+1})^8 \le 1^8$

Выполним вычисления:

$4x + 1 \le 1$

Решим полученное линейное неравенство:

$4x \le 1 - 1$

$4x \le 0$

$x \le 0$

Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x \le 0 \\ x \ge -\frac{1}{4} \end{cases}$

Решением этой системы является интервал от $-\frac{1}{4}$ до 0, включая концы.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{4}; 0]$.