Страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Сформулируйте первую теорему о корне из степени.

1.

Первая теорема о корне из степени устанавливает связь между операциями извлечения корня и возведения в степень. Она формулируется следующим образом:

Теорема: Для любого неотрицательного числа $a$ и любых натуральных чисел $n$ и $k$, где $n \ge 2$, справедливо равенство:

$$ \sqrt[n]{a^k} = (\sqrt[n]{a})^k $$

Словесно это можно выразить так: чтобы извлечь корень из степени, можно сначала извлечь корень из ее основания, а затем возвести полученный результат в показатель этой степени.

Доказательство:

Для доказательства равенства необходимо показать, что $n$-я степень выражения, стоящего в правой части, равна подкоренному выражению, стоящему в левой части. По определению арифметического корня, если $(\text{выражение})^n = \text{число}$ (и выражение неотрицательно), то $\text{выражение} = \sqrt[n]{\text{число}}$.

Возведем правую часть равенства, $(\sqrt[n]{a})^k$, в степень $n$:

$$ ((\sqrt[n]{a})^k)^n $$

Используя свойство степени $(x^m)^p = x^{mp} = (x^p)^m$, поменяем местами показатели степеней $k$ и $n$:

$$ ((\sqrt[n]{a})^n)^k $$

По определению арифметического корня $n$-ой степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Подставим это значение в выражение:

$$ (a)^k = a^k $$

Мы получили, что $n$-я степень выражения $(\sqrt[n]{a})^k$ равна $a^k$. Поскольку по условию теоремы $a \ge 0$, то и $\sqrt[n]{a} \ge 0$, и, следовательно, $(\sqrt[n]{a})^k \ge 0$. Таким образом, по определению арифметического корня $n$-ой степени, выражение $(\sqrt[n]{a})^k$ является корнем $n$-ой степени из $a^k$.

$$ \sqrt[n]{a^k} = (\sqrt[n]{a})^k $$

Теорема доказана.

Пример использования:

Вычислить $\sqrt[3]{27^4}$.

Применяя теорему, мы можем упростить вычисления:

$$ \sqrt[3]{27^4} = (\sqrt[3]{27})^4 = 3^4 = 81 $$

Прямое вычисление было бы значительно сложнее, так как потребовало бы сначала возвести 27 в 4-ю степень ($27^4 = 531441$), а затем извлекать кубический корень из этого большого числа.

Важное замечание о тождестве $\sqrt[n]{a^n}$:

Частным, но очень важным случаем, который является следствием работы с корнями, является тождество для $\sqrt[n]{a^n}$. Его вид зависит от четности показателя корня $n$:

• Если $n$ — четное число, то $\sqrt[n]{a^n} = |a|$. Например, $\sqrt[4]{(-2)^4} = \sqrt[4]{16} = 2 = |-2|$.
• Если $n$ — нечетное число, то $\sqrt[n]{a^n} = a$. Например, $\sqrt[3]{(-2)^3} = \sqrt[3]{-8} = -2$.

Ответ: Первая теорема о корне из степени гласит, что для любого неотрицательного числа $a$ и любых натуральных чисел $n \ge 2$ и $k$, справедливо равенство $ \sqrt[n]{a^k} = (\sqrt[n]{a})^k $.

2. Сформулируйте теорему о корне из произведения.

Теорема о корне из произведения

Словесная формулировка (для квадратного корня):
Корень из произведения двух или более неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Формула:
Если даны числа $a$ и $b$ такие, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то справедливо равенство: $$ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $$ Эта теорема также верна для любого количества неотрицательных множителей. Например, для трех: $$ \sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} $$ при $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$.

Доказательство:
Для доказательства равенства $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ необходимо показать, что выражение в правой части $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})$ является арифметическим квадратным корнем из выражения в левой части $(a \cdot b)$.
По определению, арифметический квадратный корень из числа $x$ — это такое неотрицательное число $y$, квадрат которого равен $x$. То есть, должны выполняться два условия:
1. $y \ge 0$ (неотрицательность).
2. $y^2 = x$ (возведение в квадрат дает подкоренное выражение).

Проверим эти условия для нашего случая, где $y = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и $x = a \cdot b$.
1. Проверка на неотрицательность. По условию теоремы, $a \ge 0$ и $b \ge 0$. По определению арифметического корня, $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел всегда неотрицательно, следовательно, $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \ge 0$. Первое условие выполнено.
2. Проверка возведением в квадрат. Возведем правую часть равенства в квадрат, используя свойство степени произведения: $$ (\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 $$ По определению квадратного корня, $(\sqrt{a})^2 = a$ и $(\sqrt{b})^2 = b$. Таким образом, мы получаем: $$ (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = a \cdot b $$ Второе условие также выполнено.

Так как оба условия определения арифметического квадратного корня выполняются, теорема доказана.

Обобщение для корня n-ой степени:
Теорема обобщается для корней любой натуральной степени $n \ge 2$.
Если $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то: $$ \sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} $$ Важное дополнение: если степень корня $n$ является нечетным числом, то ограничение на неотрицательность множителей ($a \ge 0, b \ge 0$) снимается, и формула становится верной для любых действительных чисел $a$ и $b$.

Ответ: Теорема о корне из произведения гласит, что корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. В виде формулы для квадратного корня: если $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Для корня n-ой степени: если $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

3. Сформулируйте теорему о корне из частного.

Теорема о корне из частного (или, что то же самое, из дроби) является одним из основных свойств корней. Она позволяет упрощать выражения, содержащие корень из дроби.

Формулировка теоремы:

Корень n-ой степени из частного двух чисел равен частному корней n-ой степени из делимого (числителя) и делителя (знаменателя), при условии, что все выражения имеют смысл.

Математическая запись:

В виде формулы теорема записывается так:
$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $
где $n$ — натуральное число ($n \ge 2$), $a$ и $b$ — некоторые числа.

Условия применимости теоремы:

Важно помнить об ограничениях, при которых эта формула верна. Ограничения зависят от четности показателя корня $n$.

• Если показатель корня $n$ — чётное число (например, квадратный корень, корень 4-й степени и т.д.), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Так как у нас дробь $\frac{a}{b}$, то числитель должен быть неотрицательным ($a \ge 0$), а знаменатель — строго положительным ($b > 0$), чтобы избежать деления на ноль.
• Если показатель корня $n$ — нечётное число (например, кубический корень, корень 5-й степени и т.д.), то корень можно извлекать из любого действительного числа. Поэтому единственное ограничение — это знаменатель не должен быть равен нулю ($b \ne 0$), а числитель $a$ может быть любым числом.

Пример использования:

Нужно вычислить значение выражения $ \sqrt[3]{\frac{-27}{64}} $.
Здесь показатель корня $n=3$ (нечётный), $a=-27$, $b=64$. Условия применимости соблюдены.
Применяем теорему:
$ \sqrt[3]{\frac{-27}{64}} = \frac{\sqrt[3]{-27}}{\sqrt[3]{64}} $
Так как $(-3)^3 = -27$ и $4^3 = 64$, то:
$ \frac{\sqrt[3]{-27}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{-3}{4} = -0.75 $

Ответ: Теорема о корне из частного утверждает, что корень n-ой степени из дроби равен частному корней n-ой степени из числителя и знаменателя. Формула: $ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $. Формула справедлива при условиях, что все входящие в нее выражения определены (для четного $n$: $a \ge 0, b > 0$; для нечетного $n$: $b \ne 0$).

4. Сформулируйте теорему о степени корня.

Теорема о возведении корня в степень формулируется следующим образом: чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту же степень подкоренное выражение, оставив показатель корня без изменения.

В виде формулы это свойство записывается так:

$$(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$$

Это равенство (тождество) справедливо при условии, что его левая и правая части имеют смысл. Условия существования выражений зависят от четности показателя корня $n$ и знака показателя степени $m$.

• Если показатель корня $n$ — четное число ($n = 2k, k \in \mathbb{N}$), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a \ge 0$.
• Если показатель корня $n$ — нечетное число ($n = 2k+1, k \in \mathbb{N}$), то $a$ может быть любым действительным числом.
• Если показатель степени $m$ — целое отрицательное число или ноль ($m \le 0$), то на подкоренное выражение накладывается дополнительное условие $a \ne 0$, так как возникает деление на ноль.

Доказательство

Докажем теорему для наиболее общего случая с арифметическим корнем, когда $a \ge 0$, а $n$ и $m$ — натуральные числа, $n \ge 2$.

По определению арифметического корня n-й степени, $\sqrt[n]{a}$ — это такое неотрицательное число, n-я степень которого равна $a$.

Обозначим левую часть равенства как $x = (\sqrt[n]{a})^m$. Чтобы доказать, что $x$ равен правой части $\sqrt[n]{a^m}$, нам нужно показать, что $x$ удовлетворяет определению арифметического корня n-й степени из $a^m$, то есть:

1. $x \ge 0$
2. $x^n = a^m$

Проверим эти два условия:

1. Так как $a \ge 0$, то по определению $\sqrt[n]{a} \ge 0$. При возведении неотрицательного числа в натуральную степень $m$ результат также будет неотрицательным. Следовательно, $x = (\sqrt[n]{a})^m \ge 0$. Первое условие выполнено.
2. Возведем $x$ в степень $n$:
   $x^n = ((\sqrt[n]{a})^m)^n$.
   Используя свойство степени «степень степени», $(b^p)^q = (b^q)^p$, поменяем порядок возведения в степень:
   $((\sqrt[n]{a})^m)^n = ((\sqrt[n]{a})^n)^m$.
   По основному свойству корня, $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
   Следовательно, $x^n = (a)^m = a^m$. Второе условие выполнено.

Мы показали, что $x = (\sqrt[n]{a})^m$ является неотрицательным числом, n-я степень которого равна $a^m$. Это в точности соответствует определению арифметического корня $\sqrt[n]{a^m}$. Таким образом, $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$, что и требовалось доказать.

Пример

Вычислим выражение $(\sqrt[3]{-8})^2$.
Здесь показатель корня $n=3$ (нечетный), подкоренное выражение $a=-8$ (отрицательное), показатель степени $m=2$.
Способ 1: Сначала извлечем корень, потом возведем в степень.
$(\sqrt[3]{-8})^2 = (-2)^2 = 4$.
Способ 2: Используя теорему о степени корня.
$(\sqrt[3]{-8})^2 = \sqrt[3]{(-8)^2} = \sqrt[3]{64}$.
Поскольку $4^3 = 64$, то $\sqrt[3]{64} = 4$.
Результаты совпадают, что подтверждает верность теоремы.

Ответ: Теорема о степени корня гласит, что для возведения корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение, оставив показатель корня без изменения. Математически это выражается формулой $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$, при условии, что левая и правая части выражения имеют смысл.

5. Сформулируйте теорему о корне из корня.

Теорема о корне из корня формулируется следующим образом: для любого неотрицательного числа $a$ и для любых натуральных чисел $n$ и $k$ (больших 1), корень n-й степени из корня k-й степени из числа $a$ равен корню степени $nk$ из этого числа.

Математически это свойство записывается в виде формулы:

$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$

где $a \ge 0$, а $n, k \in \mathbb{N}$, $n > 1, k > 1$.

Проще говоря, чтобы извлечь корень из корня, необходимо перемножить их показатели, а подкоренное выражение оставить прежним.

Доказательство теоремы:

Для доказательства воспользуемся определением арифметического корня и свойствами степени.

Обозначим выражение $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}$ через $x$.

$x = \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}$

Поскольку $a \ge 0$, то $\sqrt[k]{a} \ge 0$ и $x = \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} \ge 0$.

По определению корня n-й степени, если мы возведем $x$ в степень $n$, то получим подкоренное выражение $\sqrt[k]{a}$:

$x^n = (\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}})^n = \sqrt[k]{a}$

Теперь возведем обе части полученного равенства $x^n = \sqrt[k]{a}$ в степень $k$:

$(x^n)^k = (\sqrt[k]{a})^k$

Используя свойство степени "возведение степени в степень", согласно которому $(b^m)^p = b^{mp}$, и определение корня k-й степени $(\sqrt[k]{a})^k = a$, получим:

$x^{nk} = a$

Мы получили, что неотрицательное число $x$, возведенное в степень $nk$, равно $a$. Это, по определению, означает, что $x$ является арифметическим корнем степени $nk$ из числа $a$:

$x = \sqrt[nk]{a}$

Так как в начале мы положили $x = \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}$, то мы доказали тождество:

$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$

Теорема доказана.

Пример использования теоремы:

Упростим выражение $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$.

Согласно теореме, мы можем перемножить показатели корней (3 и 2, так как квадратный корень имеет показатель 2):

$\sqrt[3]{\sqrt[2]{64}} = \sqrt[3 \cdot 2]{64} = \sqrt[6]{64}$

Найдем число, которое при возведении в 6-ю степень дает 64. Это число 2, так как $2^6 = 64$.

Следовательно, $\sqrt[6]{64} = 2$.

Проверим, вычисляя корни последовательно:

1. $\sqrt{64} = 8$

2. $\sqrt[3]{8} = 2$

Результаты совпадают.

Ответ: Теорема о корне из корня гласит: чтобы извлечь корень из корня, нужно перемножить показатели корней, оставив подкоренное выражение без изменений. Для любого неотрицательного числа $a$ и натуральных чисел $n>1, k>1$ справедливо равенство $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$.

6. Сформулируйте вторую теорему о корне из степени.

Вторая теорема о корне из степени, также известная как основное свойство арифметического корня, устанавливает правило для изменения показателя корня и показателя степени подкоренного выражения.

Формулировка теоремы:

Если показатель корня $n$ и показатель степени подкоренного выражения $m$ умножить на одно и то же натуральное число $k$, то значение корня не изменится. И наоборот, если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения имеют общий делитель, на который их можно разделить, то значение корня от этого не изменится.

В виде формулы это свойство записывается так:

Для любого неотрицательного числа $a$ ($a \ge 0$) и любых натуральных чисел $n, m, k$ (где $n \ge 2, k \ge 1$) справедливо равенство:

$\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$

Это равенство можно читать как слева направо (сокращение показателя корня и степени), так и справа налево (приведение корня к новому показателю).

Доказательство:

Для доказательства этой теоремы воспользуемся определением арифметического корня $n$-й степени. Напомним, что для $b \ge 0$ равенство $\sqrt[n]{b} = c$ означает, что $c \ge 0$ и $c^n = b$.

Докажем, что $\sqrt[n]{a^m}$ является корнем степени $nk$ из $a^{mk}$.
Пусть $c = \sqrt[n]{a^m}$. Поскольку $a \ge 0$, то и $a^m \ge 0$, а значит, и $c = \sqrt[n]{a^m} \ge 0$.
По определению корня, если возвести $c$ в степень $n$, получим подкоренное выражение: $c^n = a^m$.
Теперь возведем обе части этого равенства в степень $k$ (где $k$ - натуральное число):
$(c^n)^k = (a^m)^k$
По свойству степени $(x^p)^q = x^{pq}$, получаем:
$c^{nk} = a^{mk}$
Мы получили, что неотрицательное число $c$ при возведении в степень $nk$ дает в результате $a^{mk}$. По определению арифметического корня степени $nk$ это и означает, что $c$ является этим корнем:
$c = \sqrt[nk]{a^{mk}}$
Поскольку мы изначально обозначили $c = \sqrt[n]{a^m}$, то получаем тождество:$\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[nk]{a^{mk}}$, что и требовалось доказать.

Примеры применения теоремы:

1. Сокращение (упрощение) корней. Показатель корня и показатель степени подкоренного выражения делятся на их общий делитель.
Пример: Упростить $\sqrt[6]{27}$.
$\sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3}$. Здесь показатель корня 6 и показатель степени 3 имеют общий делитель 3. Разделим их на 3:
$\sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6/3]{3^{3/3}} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3}$.

2. Приведение корней к общему показателю. Это действие необходимо, например, для сравнения корней или их умножения/деления.
Пример: Сравнить числа $\sqrt{3}$ и $\sqrt[3]{5}$.
Показатели корней — 2 и 3. Наименьшее общее кратное для них — 6. Приведем оба корня к показателю 6, используя теорему (умножая показатели корня и степени на соответствующее число):
$\sqrt{3} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27}$.
$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{5^1} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{5^2} = \sqrt[6]{25}$.
Теперь, когда корни имеют одинаковый показатель, мы можем сравнить их подкоренные выражения: $27 > 25$.
Следовательно, $\sqrt[6]{27} > \sqrt[6]{25}$, а значит, $\sqrt{3} > \sqrt[3]{5}$.

Ответ: Вторая теорема о корне из степени (основное свойство корня) гласит, что если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится. Для любого $a \ge 0$ и натуральных $n \ge 2, m, k$ выполняется равенство: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$.

9.1. Найдите:

1) $\sqrt[3]{64 \cdot 125}$;

2) $\sqrt[5]{2^{10} \cdot 7^5}$;

3) $\sqrt[6]{3^{18} \cdot 10^{24}}$;

4) $\sqrt[4]{\frac{3^{12} \cdot 11^4}{5^8 \cdot 2^{16}}}$.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{64 \cdot 125}$ воспользуемся свойством корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[3]{64 \cdot 125} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{125}$

Теперь вычислим каждый корень отдельно. Кубический корень из 64 равен 4, так как $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$. Кубический корень из 125 равен 5, так как $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Подставим найденные значения в выражение:

$4 \cdot 5 = 20$

Ответ: 20

2) В данном примере $\sqrt[5]{2^{10} \cdot 7^5}$ мы также используем свойство корня из произведения, а также свойство корня из степени: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[5]{2^{10} \cdot 7^5} = \sqrt[5]{2^{10}} \cdot \sqrt[5]{7^5}$

Применим свойство корня из степени к каждому множителю:

$\sqrt[5]{2^{10}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2 = 4$

$\sqrt[5]{7^5} = 7^{\frac{5}{5}} = 7^1 = 7$

Перемножим полученные результаты:

$4 \cdot 7 = 28$

Ответ: 28

3) Для выражения $\sqrt[6]{3^{18} \cdot 10^{24}}$ используем те же свойства, что и в предыдущем пункте.

$\sqrt[6]{3^{18} \cdot 10^{24}} = \sqrt[6]{3^{18}} \cdot \sqrt[6]{10^{24}}$

Применим свойство корня из степени:

$\sqrt[6]{3^{18}} = 3^{\frac{18}{6}} = 3^3 = 27$

$\sqrt[6]{10^{24}} = 10^{\frac{24}{6}} = 10^4 = 10000$

Вычислим произведение:

$27 \cdot 10000 = 270000$

Ответ: 270000

4) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{\frac{3^{12} \cdot 11^4}{5^8 \cdot 2^{16}}}$ воспользуемся свойством корня из дроби: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

$\sqrt[4]{\frac{3^{12} \cdot 11^4}{5^8 \cdot 2^{16}}} = \frac{\sqrt[4]{3^{12} \cdot 11^4}}{\sqrt[4]{5^8 \cdot 2^{16}}}$

Теперь применим свойство корня из произведения для числителя и знаменателя, а затем свойство корня из степени для каждого множителя.

$\frac{\sqrt[4]{3^{12}} \cdot \sqrt[4]{11^4}}{\sqrt[4]{5^8} \cdot \sqrt[4]{2^{16}}} = \frac{3^{\frac{12}{4}} \cdot 11^{\frac{4}{4}}}{5^{\frac{8}{4}} \cdot 2^{\frac{16}{4}}} = \frac{3^3 \cdot 11^1}{5^2 \cdot 2^4}$

Вычислим значения в числителе и знаменателе, а затем найдем значение дроби:

$\frac{27 \cdot 11}{25 \cdot 16} = \frac{297}{400}$

Ответ: $\frac{297}{400}$

9.2. Вычислите:

1) $\sqrt[3]{0,064 \cdot 343}$;

2) $\sqrt[4]{0,0081 \cdot 11^4}$;

3) $\sqrt[5]{\frac{7^5}{2^{10}}}$;

4) $\sqrt[8]{\frac{2^{24} \cdot 3^{16}}{5^{16}}}$.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{0,064 \cdot 343}$ воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

Разложим выражение на два множителя под корнем:

$\sqrt[3]{0,064 \cdot 343} = \sqrt[3]{0,064} \cdot \sqrt[3]{343}$

Вычислим каждый корень отдельно:

$\sqrt[3]{0,064} = \sqrt[3]{(0,4)^3} = 0,4$

$\sqrt[3]{343} = \sqrt[3]{7^3} = 7$

Теперь перемножим полученные результаты:

$0,4 \cdot 7 = 2,8$

Ответ: $2,8$

2) Для вычисления $\sqrt[4]{0,0081 \cdot 11^4}$ применим то же свойство корня из произведения:

$\sqrt[4]{0,0081 \cdot 11^4} = \sqrt[4]{0,0081} \cdot \sqrt[4]{11^4}$

Вычислим каждый корень:

$\sqrt[4]{0,0081} = \sqrt[4]{(0,3)^4} = 0,3$

$\sqrt[4]{11^4} = 11$

Перемножим результаты:

$0,3 \cdot 11 = 3,3$

Ответ: $3,3$

3) Для вычисления $\sqrt[5]{\frac{7^5}{2^{10}}}$ воспользуемся свойством корня из частного: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

$\sqrt[5]{\frac{7^5}{2^{10}}} = \frac{\sqrt[5]{7^5}}{\sqrt[5]{2^{10}}}$

Вычислим корень в числителе и знаменателе. Для этого можно использовать представление корня в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

В числителе: $\sqrt[5]{7^5} = 7^{\frac{5}{5}} = 7^1 = 7$.

В знаменателе: $\sqrt[5]{2^{10}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2 = 4$.

Получаем дробь:

$\frac{7}{4} = 1,75$

Ответ: $1,75$

4) Для вычисления $\sqrt[8]{\frac{2^{24} \cdot 3^{16}}{5^{16}}}$ используем свойства корня из частного и произведения, а также представление корня в виде степени с дробным показателем.

$\sqrt[8]{\frac{2^{24} \cdot 3^{16}}{5^{16}}} = \frac{\sqrt[8]{2^{24} \cdot 3^{16}}}{\sqrt[8]{5^{16}}} = \frac{\sqrt[8]{2^{24}} \cdot \sqrt[8]{3^{16}}}{\sqrt[8]{5^{16}}}$

Вычислим каждую часть выражения:

$\sqrt[8]{2^{24}} = 2^{\frac{24}{8}} = 2^3 = 8$

$\sqrt[8]{3^{16}} = 3^{\frac{16}{8}} = 3^2 = 9$

$\sqrt[8]{5^{16}} = 5^{\frac{16}{8}} = 5^2 = 25$

Подставим полученные значения в выражение:

$\frac{8 \cdot 9}{25} = \frac{72}{25}$

Преобразуем дробь в десятичную:

$\frac{72}{25} = \frac{72 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{288}{100} = 2,88$

Ответ: $2,88$

9.3. Найдите:

1) $\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8};$

2) $\sqrt[3]{0.054} \cdot \sqrt[3]{4};$

3) $\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{128}};$

4) $\frac{\sqrt[8]{2^{30} \cdot 7^{12}}}{\sqrt[8]{2^6 \cdot 7^4}};$

5) $\sqrt{6\sqrt{3} + 10} \cdot \sqrt{6\sqrt{3} - 10};$

6) $\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[3]{-9}.$

1) Для вычисления произведения корней одной и той же степени воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 8} = \sqrt[4]{16}$

Так как $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.

Ответ: 2

2) Используем то же свойство, что и в предыдущем примере, для корней третьей степени:

$\sqrt[3]{0,054} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{0,054 \cdot 4} = \sqrt[3]{0,216}$

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,216 = \frac{216}{1000}$.

$\sqrt[3]{0,216} = \sqrt[3]{\frac{216}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{216}}{\sqrt[3]{1000}}$

Поскольку $6^3 = 216$ и $10^3 = 1000$, получаем:

$\frac{6}{10} = 0,6$

Ответ: 0,6

3) Для вычисления частного корней одной и той же степени воспользуемся свойством $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{128}} = \sqrt[5]{\frac{4}{128}}$

Сократим дробь под корнем:

$\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[8]{2^{30} \cdot 7^{12}}}{\sqrt[8]{2^6 \cdot 7^4}} = \sqrt[8]{\frac{2^{30} \cdot 7^{12}}{2^6 \cdot 7^4}}$

Упростим выражение под корнем, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\sqrt[8]{2^{30-6} \cdot 7^{12-4}} = \sqrt[8]{2^{24} \cdot 7^8}$

Теперь воспользуемся свойствами $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$\sqrt[8]{2^{24}} \cdot \sqrt[8]{7^8} = 2^{\frac{24}{8}} \cdot 7^{\frac{8}{8}} = 2^3 \cdot 7^1 = 8 \cdot 7 = 56$

Ответ: 56

5) Применим свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} \cdot \sqrt[3]{6\sqrt{3} - 10} = \sqrt[3]{(6\sqrt{3} + 10)(6\sqrt{3} - 10)}$

Выражение под корнем представляет собой формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = 6\sqrt{3}$ и $b = 10$.

$(6\sqrt{3})^2 - 10^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{3})^2 - 100 = 36 \cdot 3 - 100 = 108 - 100 = 8$

Таким образом, выражение упрощается до:

$\sqrt[3]{8} = 2$

Ответ: 2

6) Сгруппируем множители с одинаковыми показателями корня:

$\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[3]{-9} = (\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{27}) \cdot (\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{-9})$

Вычислим произведение первой группы, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[4]{3 \cdot 27} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$

Вычислим произведение второй группы:

$\sqrt[3]{3 \cdot (-9)} = \sqrt[3]{-27} = -3$

Теперь перемножим полученные результаты:

$3 \cdot (-3) = -9$

Ответ: -9

9.4. Упростите выражение:

1) $\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{5};$

2) $\frac{\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}};$

3) $\sqrt[14]{(8 - y)^{14}};$

4) $\sqrt[6]{y^{12}};$

5) $\sqrt[5]{2\sqrt{17} + 10} \cdot \sqrt[5]{2\sqrt{17} - 10};$

6) $\sqrt[12]{n^{36}}.$

1)

Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{25 \cdot 5} = \sqrt[3]{125}$.
Так как $5^3 = 125$, то $\sqrt[3]{125} = 5$.
Ответ: 5

2)

Применим свойство частного корней одинаковой степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[4]{\frac{80}{5}} = \sqrt[4]{16}$.
Поскольку $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.
Ответ: 2

3)

Воспользуемся свойством корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае показатель корня (14) и показатель степени подкоренного выражения (14) — четные числа.
$\sqrt[14]{(8 - y)^{14}} = |8 - y|$.
Выражение не может быть дальше упрощено без дополнительной информации о переменной $y$.
Ответ: $|8 - y|$

4)

Для упрощения представим корень в виде степени с рациональным показателем, используя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[6]{y^{12}} = y^{\frac{12}{6}} = y^2$.
Также можно рассуждать иначе: $y^{12} = (y^2)^6$. Тогда $\sqrt[6]{y^{12}} = \sqrt[6]{(y^2)^6}$. Так как показатель корня 6 — четное число, то по свойству $\sqrt[2k]{a^{2k}}=|a|$ имеем $\sqrt[6]{(y^2)^6} = |y^2|$. Поскольку $y^2$ всегда неотрицательно ($y^2 \ge 0$), то $|y^2| = y^2$.
Ответ: $y^2$

5)

Сначала используем свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[5]{2\sqrt{17}+10} \cdot \sqrt[5]{2\sqrt{17}-10} = \sqrt[5]{(2\sqrt{17}+10)(2\sqrt{17}-10)}$.
Теперь к выражению в скобках применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = 2\sqrt{17}$ и $b = 10$.
$\sqrt[5]{(2\sqrt{17})^2 - 10^2} = \sqrt[5]{4 \cdot 17 - 100} = \sqrt[5]{68 - 100} = \sqrt[5]{-32}$.
Так как $(-2)^5 = -32$, то $\sqrt[5]{-32} = -2$.
Ответ: -2

6)

Используем свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, позволяющее сокращать показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель.
$\sqrt[12]{n^{36}} = \sqrt[12/12]{n^{36/12}} = \sqrt[1]{n^3} = n^3$.
Однако, такое упрощение верно только для $n \ge 0$. В общем случае необходимо использовать свойство корня четной степени $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$.
$\sqrt[12]{n^{36}} = \sqrt[12]{(n^3)^{12}}$. Так как показатель корня 12 — четное число, то $\sqrt[12]{(n^3)^{12}} = |n^3|$.
Этот результат верен для любых действительных значений $n$. Например, если $n = -1$, то $\sqrt[12]{(-1)^{36}} = \sqrt[12]{1} = 1$, и $|(-1)^3| = |-1| = 1$.
Ответ: $|n^3|$

9.5. Представьте выражение в виде одночлена, если $a \ge 0$ и $b \ge 0$:

1) $\sqrt[3]{27b^9}$

2) $\sqrt[4]{625a^{12}b^4}$

3) $\sqrt[6]{729a^{54}b^{18}}$

1) Чтобы представить выражение $\sqrt[3]{27b^9}$ в виде одночлена, необходимо извлечь корень кубический из каждого множителя подкоренного выражения. Для этого воспользуемся свойствами корня: $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$ и $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$.
$\sqrt[3]{27b^9} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{b^9}$
Находим корень из числового коэффициента: $\sqrt[3]{27} = 3$, поскольку $3^3 = 27$.
Находим корень из переменной: $\sqrt[3]{b^9} = b^{9/3} = b^3$.
Объединяем результаты: $3 \cdot b^3 = 3b^3$.
Ответ: $3b^3$.

2) Чтобы представить выражение $\sqrt[4]{625a^{12}b^4}$ в виде одночлена, извлечем корень четвертой степени из каждого множителя. Учтем, что по условию $a \ge 0$ и $b \ge 0$, поэтому при извлечении корня четной степени из переменной в четной степени модуль не ставится.
$\sqrt[4]{625a^{12}b^4} = \sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{a^{12}} \cdot \sqrt[4]{b^4}$.
Находим корень из числа: $\sqrt[4]{625} = 5$, поскольку $5^4 = 625$.
Находим корень из переменных:
$\sqrt[4]{a^{12}} = a^{12/4} = a^3$.
$\sqrt[4]{b^4} = b^{4/4} = b^1 = b$.
Объединяем результаты: $5 \cdot a^3 \cdot b = 5a^3b$.
Ответ: $5a^3b$.

3) Чтобы представить выражение $\sqrt[6]{729a^{54}b^{18}}$ в виде одночлена, извлечем корень шестой степени из каждого множителя. По условию $a \ge 0$ и $b \ge 0$, что упрощает извлечение корней четной степени.
$\sqrt[6]{729a^{54}b^{18}} = \sqrt[6]{729} \cdot \sqrt[6]{a^{54}} \cdot \sqrt[6]{b^{18}}$.
Находим корень из числа: $\sqrt[6]{729} = 3$, поскольку $3^6 = 729$.
Находим корень из переменных:
$\sqrt[6]{a^{54}} = a^{54/6} = a^9$.
$\sqrt[6]{b^{18}} = b^{18/6} = b^3$.
Объединяем результаты: $3 \cdot a^9 \cdot b^3 = 3a^9b^3$.
Ответ: $3a^9b^3$.