Страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.43. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{\sqrt{10} - 3} \cdot \sqrt[6]{19 + 6\sqrt{10}}$

2) $\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6 - 4\sqrt{2}}$

1) Найдем значение выражения $ \sqrt[3]{\sqrt{10}-3} \cdot \sqrt[6]{19+6\sqrt{10}} $.

Чтобы перемножить корни с разными показателями, приведем их к общему показателю. Общий показатель для 3 и 6 равен 6. Для этого возведем подкоренное выражение первого множителя в квадрат, а показатель корня умножим на 2:

$ \sqrt[3]{\sqrt{10}-3} = \sqrt[3 \cdot 2]{(\sqrt{10}-3)^2} = \sqrt[6]{(\sqrt{10}-3)^2} $.

Раскроем скобки под знаком корня, используя формулу квадрата разности $ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $:

$ (\sqrt{10}-3)^2 = (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 3 + 3^2 = 10 - 6\sqrt{10} + 9 = 19 - 6\sqrt{10} $.

Теперь исходное выражение можно записать в виде произведения корней с одинаковым показателем:

$ \sqrt[6]{19 - 6\sqrt{10}} \cdot \sqrt[6]{19 + 6\sqrt{10}} $.

Используя свойство $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} $, объединим множители под одним корнем:

$ \sqrt[6]{(19 - 6\sqrt{10})(19 + 6\sqrt{10})} $.

Выражение в скобках представляет собой произведение разности и суммы двух выражений, которое равно разности их квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $:

$ (19 - 6\sqrt{10})(19 + 6\sqrt{10}) = 19^2 - (6\sqrt{10})^2 = 361 - (36 \cdot 10) = 361 - 360 = 1 $.

Таким образом, значение всего выражения равно:

$ \sqrt[6]{1} = 1 $.

Ответ: 1.

2) Найдем значение выражения $ \sqrt{4+2\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6-4\sqrt{2}} $.

Приведем корни к общему показателю 4. Для этого возведем подкоренное выражение первого множителя в квадрат, а показатель корня (который по умолчанию равен 2) умножим на 2:

$ \sqrt{4+2\sqrt{2}} = \sqrt[2 \cdot 2]{(4+2\sqrt{2})^2} = \sqrt[4]{(4+2\sqrt{2})^2} $.

Раскроем скобки под корнем, используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $:

$ (4+2\sqrt{2})^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = 16 + 16\sqrt{2} + (4 \cdot 2) = 16 + 16\sqrt{2} + 8 = 24 + 16\sqrt{2} $.

Теперь исходное выражение можно записать так:

$ \sqrt[4]{24 + 16\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6 - 4\sqrt{2}} $.

Объединим множители под одним корнем четвертой степени:

$ \sqrt[4]{(24 + 16\sqrt{2})(6 - 4\sqrt{2})} $.

Вычислим произведение в подкоренном выражении:

$ (24 + 16\sqrt{2})(6 - 4\sqrt{2}) = 24 \cdot 6 - 24 \cdot 4\sqrt{2} + 16\sqrt{2} \cdot 6 - 16\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} $

$ = 144 - 96\sqrt{2} + 96\sqrt{2} - 64 \cdot (\sqrt{2})^2 = 144 - 64 \cdot 2 = 144 - 128 = 16 $.

Таким образом, мы получаем:

$ \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2 $.

Ответ: 2.

1) $\sqrt{10} - 3\sqrt{15} + 6\sqrt{10}$,

2) $\sqrt{4+2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{60} - 4\sqrt{2}$.

9.44. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[6]{7-4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{3}};$

2) $\sqrt{2\sqrt{6}-1} \cdot \sqrt[4]{25+4\sqrt{6}}.$

1)

Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{7-4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$.

Сначала упростим первый множитель $\sqrt[6]{7-4\sqrt{3}}$. Заметим, что подкоренное выражение $7-4\sqrt{3}$ можно представить в виде полного квадрата. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Нам нужно найти такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=7$ и $2ab=4\sqrt{3}$, из чего следует, что $ab=2\sqrt{3}$.

Легко подобрать, что $a=2$ и $b=\sqrt{3}$. Проверим: $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4+3=7$. Условие выполняется.

Таким образом, мы можем записать: $7-4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2$.

Подставим это обратно в первый множитель: $\sqrt[6]{7-4\sqrt{3}} = \sqrt[6]{(2-\sqrt{3})^2}$.

Используя свойство корней $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, мы можем сократить степень корня и показатель степени подкоренного выражения на 2: $\sqrt[6]{(2-\sqrt{3})^2} = \sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$.

Теперь исходное выражение принимает вид: $\sqrt[3]{2-\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$.

Воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[3]{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$

Выражение в скобках является разностью квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:

$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3=1$.

В итоге получаем $\sqrt[3]{1} = 1$.

Ответ: 1

2)

Рассмотрим выражение $\sqrt{2\sqrt{6}-1} \cdot \sqrt[4]{25+4\sqrt{6}}$.

Упростим второй множитель $\sqrt[4]{25+4\sqrt{6}}$. Представим подкоренное выражение $25+4\sqrt{6}$ в виде полного квадрата, используя формулу $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=25$ и $2ab=4\sqrt{6}$, то есть $ab=2\sqrt{6}$.

Проверим значения $a=1$ и $b=2\sqrt{6}$. В этом случае $a^2+b^2 = 1^2+(2\sqrt{6})^2 = 1 + 4 \cdot 6 = 1+24=25$. Условие выполняется.

Следовательно, $25+4\sqrt{6} = (1+2\sqrt{6})^2$. Порядок слагаемых не имеет значения, поэтому можно записать и как $(2\sqrt{6}+1)^2$.

Подставим это во второй множитель: $\sqrt[4]{25+4\sqrt{6}} = \sqrt[4]{(2\sqrt{6}+1)^2}$.

Используя свойство корней, сократим показатель корня и степень подкоренного выражения на 2: $\sqrt[4]{(2\sqrt{6}+1)^2} = \sqrt{2\sqrt{6}+1}$.

Теперь исходное выражение выглядит так: $\sqrt{2\sqrt{6}-1} \cdot \sqrt{2\sqrt{6}+1}$.

Объединим корни по свойству $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{(2\sqrt{6}-1)(2\sqrt{6}+1)}$

Выражение под корнем является разностью квадратов:

$(2\sqrt{6}-1)(2\sqrt{6}+1) = (2\sqrt{6})^2 - 1^2 = 4 \cdot 6 - 1 = 24 - 1 = 23$.

Таким образом, значение выражения равно $\sqrt{23}$.

Ответ: $\sqrt{23}$

9.45. Упростите выражение:

1) $(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1} - \frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1}$

2) $(\frac{\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[6]{x}-1} - \frac{4\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x}-1}) \cdot \frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x}-1}$

3) $(\frac{\sqrt[4]{a^3}-\sqrt[4]{b^3}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}) (\sqrt[4]{\frac{a}{b}}+1)$

4) $\frac{\sqrt{a}+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}} \cdot (\frac{\sqrt[6]{a}-3}{\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9} - \frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt{a}+27})$

1) $(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1} - \frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1}$

Для упрощения введем замену: пусть $x = \sqrt[4]{a}$. Тогда $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2 = x^2$.

Выражение примет вид: $(\frac{1}{x-1} - \frac{x+1}{x^2}) : \frac{x^2}{x^2-2x+1}$.

Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $x^2(x-1)$:$\frac{1}{x-1} - \frac{x+1}{x^2} = \frac{1 \cdot x^2 - (x+1)(x-1)}{x^2(x-1)} = \frac{x^2 - (x^2-1)}{x^2(x-1)} = \frac{x^2 - x^2 + 1}{x^2(x-1)} = \frac{1}{x^2(x-1)}$.

Теперь упростим делитель, используя формулу квадрата разности:$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1} = \frac{x^2}{(\sqrt[4]{a})^2-2\sqrt[4]{a}+1} = \frac{x^2}{(\sqrt[4]{a}-1)^2} = \frac{x^2}{(x-1)^2}$.

Выполним деление (заменим деление на умножение на обратную дробь):$\frac{1}{x^2(x-1)} : \frac{x^2}{(x-1)^2} = \frac{1}{x^2(x-1)} \cdot \frac{(x-1)^2}{x^2} = \frac{x-1}{x^4}$.

Сделаем обратную замену $x = \sqrt[4]{a}$:$\frac{\sqrt[4]{a}-1}{(\sqrt[4]{a})^4} = \frac{\sqrt[4]{a}-1}{a}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{a}-1}{a}$.

2) $(\frac{\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[6]{x}-1} - \frac{4\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x}-1}) \cdot \frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x}-1}$

Для упрощения введем замену: пусть $y = \sqrt[6]{x}$. Тогда $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = y^2$.

Выражение примет вид: $(\frac{y+1}{y-1} - \frac{4y}{y^2-1}) \cdot \frac{y^2+y}{y-1}$.

Упростим выражение в скобках, используя формулу разности квадратов $y^2-1 = (y-1)(y+1)$ для приведения к общему знаменателю:$\frac{y+1}{y-1} - \frac{4y}{(y-1)(y+1)} = \frac{(y+1)^2 - 4y}{(y-1)(y+1)} = \frac{y^2+2y+1-4y}{y^2-1} = \frac{y^2-2y+1}{y^2-1} = \frac{(y-1)^2}{(y-1)(y+1)} = \frac{y-1}{y+1}$.

Упростим второй множитель, вынеся общий множитель за скобки:$\frac{y^2+y}{y-1} = \frac{y(y+1)}{y-1}$.

Выполним умножение полученных выражений:$\frac{y-1}{y+1} \cdot \frac{y(y+1)}{y-1} = y$.

Сделаем обратную замену $y = \sqrt[6]{x}$.

Ответ: $\sqrt[6]{x}$.

3) $(\frac{\sqrt[4]{a^3}-\sqrt[4]{b^3}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{\frac{a}{b}}+1)$

Введем замену: пусть $x = \sqrt[4]{a}$ и $y = \sqrt[4]{b}$. Тогда $\sqrt{a} = x^2$, $\sqrt{b} = y^2$, $\sqrt[4]{a^3} = x^3$, $\sqrt[4]{b^3} = y^3$.

Выражение примет вид: $(\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2} - x - y)(\frac{x}{y}+1)$.

Упростим выражение в первых скобках. Сначала преобразуем дробь, используя формулы разности кубов и разности квадратов:$\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2+xy+y^2}{x+y}$.

Теперь выполним вычитание:$\frac{x^2+xy+y^2}{x+y} - (x+y) = \frac{x^2+xy+y^2 - (x+y)^2}{x+y} = \frac{x^2+xy+y^2 - (x^2+2xy+y^2)}{x+y} = \frac{-xy}{x+y}$.

Упростим выражение во вторых скобках:$\frac{x}{y}+1 = \frac{x+y}{y}$.

Выполним умножение:$\frac{-xy}{x+y} \cdot \frac{x+y}{y} = -x$.

Сделаем обратную замену $x = \sqrt[4]{a}$.

Ответ: $-\sqrt[4]{a}$.

4) $\frac{\sqrt{a}+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}} \cdot (\frac{\sqrt[6]{a}-3}{\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9} - \frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt{a}+27})$

Введем замену: пусть $x = \sqrt[6]{a}$ и $y = \sqrt[6]{b}$. Тогда $\sqrt[3]{a} = x^2$, $\sqrt{a} = x^3$, и $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{a}\sqrt[6]{b} = xy$.

Выражение примет вид: $\frac{x^3+27}{x-y} \cdot (\frac{x-3}{x^2-3x+9} - \frac{xy-9}{x^3+27})$.

Упростим выражение в скобках. Заметим, что знаменатели связаны формулой суммы кубов: $x^3+27 = x^3+3^3 = (x+3)(x^2-3x+9)$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $x^3+27$:$\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x^2-3x+9)} - \frac{xy-9}{x^3+27} = \frac{x^2-9}{x^3+27} - \frac{xy-9}{x^3+27}$.

Выполним вычитание дробей:$\frac{(x^2-9) - (xy-9)}{x^3+27} = \frac{x^2-9-xy+9}{x^3+27} = \frac{x^2-xy}{x^3+27} = \frac{x(x-y)}{x^3+27}$.

Теперь умножим результат на первый множитель:$\frac{x^3+27}{x-y} \cdot \frac{x(x-y)}{x^3+27}$.

Сократим одинаковые множители $(x^3+27)$ и $(x-y)$ в числителе и знаменателе. В результате останется $x$.

Сделаем обратную замену $x = \sqrt[6]{a}$.

Ответ: $\sqrt[6]{a}$.

9.46. Докажите тождество:

1) $\left(\frac{1}{\sqrt[6]{x}+1}-\frac{\sqrt[6]{x}-1}{\sqrt[3]{x}}\right) : \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1}=\frac{\sqrt[6]{x}+1}{x};$

2) $\frac{\frac{a+b}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}+\frac{\sqrt[3]{ab^2}-\sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}=\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Чтобы упростить выражение, введем замену: пусть $y = \sqrt[6]{x}$.
Тогда $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = y^2$, а $\sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[6]{x})^4 = y^4$.
Левая часть тождества (обозначим ее $L$) примет вид:
$ L = \left( \frac{1}{y + 1} - \frac{y - 1}{y^2} \right) : \frac{y^4}{y^2 + 2y + 1} $
Сначала выполним действие в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $y^2(y+1)$:
$ \frac{1}{y + 1} - \frac{y - 1}{y^2} = \frac{1 \cdot y^2 - (y - 1)(y + 1)}{y^2(y+1)} = \frac{y^2 - (y^2 - 1)}{y^2(y+1)} = \frac{y^2 - y^2 + 1}{y^2(y+1)} = \frac{1}{y^2(y+1)} $
Теперь преобразуем делитель, используя в знаменателе формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ :
$ \frac{y^4}{y^2 + 2y + 1} = \frac{y^4}{(y+1)^2} $
Выполним деление, для чего умножим первое выражение на дробь, обратную делителю:
$ L = \frac{1}{y^2(y+1)} \cdot \frac{(y+1)^2}{y^4} $
Сократим общий множитель $(y+1)$:
$ L = \frac{1}{y^2} \cdot \frac{y+1}{y^4} = \frac{y+1}{y^6} $
Теперь выполним обратную замену. Так как $y = \sqrt[6]{x}$, то $y^6 = x$.
$ L = \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x} $
Полученное выражение в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Равенство является тождеством.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, которая представляет собой сложную дробь. Введем замены: пусть $u = \sqrt[6]{a}$ и $v = \sqrt[6]{b}$.
Тогда $a = u^6$, $b = v^6$. Выразим остальные члены выражения через $u$ и $v$:
$ \sqrt[3]{a^2} = (a^{2/3}) = (u^6)^{2/3} = u^4; \quad \sqrt[3]{b^2} = v^4 $
$ \sqrt[3]{ab} = (ab)^{1/3} = (u^6v^6)^{1/3} = u^2v^2 $
$ \sqrt[3]{ab^2} = a^{1/3}b^{2/3} = u^2v^4; \quad \sqrt[3]{a^2b} = a^{2/3}b^{1/3} = u^4v^2 $
Преобразуем числитель $N$ сложной дроби:
$ N = \frac{a+b}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} + \frac{\sqrt[3]{ab^2} - \sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}} = \frac{u^6+v^6}{u^4-v^4} + \frac{u^2v^4 - u^4v^2}{u^4 - 2u^2v^2 + v^4} $
Упростим каждое слагаемое в $N$, используя формулы сокращенного умножения:
Первое слагаемое: $ \frac{u^6+v^6}{u^4-v^4} = \frac{(u^2)^3+(v^2)^3}{(u^2-v^2)(u^2+v^2)} = \frac{(u^2+v^2)(u^4-u^2v^2+v^4)}{(u^2-v^2)(u^2+v^2)} = \frac{u^4-u^2v^2+v^4}{u^2-v^2} $
Второе слагаемое: $ \frac{u^2v^4 - u^4v^2}{u^4 - 2u^2v^2 + v^4} = \frac{-u^2v^2(u^2-v^2)}{(u^2-v^2)^2} = \frac{-u^2v^2}{u^2-v^2} $
Сложим полученные дроби:
$ N = \frac{u^4-u^2v^2+v^4}{u^2-v^2} + \frac{-u^2v^2}{u^2-v^2} = \frac{u^4-u^2v^2+v^4 - u^2v^2}{u^2-v^2} = \frac{u^4-2u^2v^2+v^4}{u^2-v^2} = \frac{(u^2-v^2)^2}{u^2-v^2} = u^2-v^2 $
Знаменатель $D$ сложной дроби равен $ \sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b} = u-v $.
Теперь разделим упрощенный числитель на знаменатель:
$ \frac{N}{D} = \frac{u^2-v^2}{u-v} = \frac{(u-v)(u+v)}{u-v} = u+v $
Выполним обратную замену:
$ u+v = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b} $
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Равенство является тождеством.

9.47. Решите уравнение $\sqrt[4]{(x-3)^4} + \sqrt[6]{(5-x)^6} = 2.$

Данное уравнение:
$\sqrt[4]{(x-3)^4} + \sqrt[6]{(5-x)^6} = 2$
Воспользуемся свойством корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Применяя это свойство к обоим слагаемым в левой части уравнения, получаем:
$|x-3| + |5-x| = 2$
Для решения уравнения с модулями рассмотрим несколько случаев, в зависимости от знаков выражений под модулем. Нули подмодульных выражений: $x-3=0 \implies x=3$ и $5-x=0 \implies x=5$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала.

1. Случай $x < 3$
На этом интервале выражение $x-3$ отрицательно, а выражение $5-x$ положительно. Следовательно, $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ и $|5-x| = 5-x$.
Уравнение принимает вид:
$(3-x) + (5-x) = 2$
$8 - 2x = 2$
$2x = 6$
$x = 3$
Полученное значение $x=3$ не удовлетворяет условию $x < 3$, поэтому в этом интервале решений нет.

2. Случай $3 \le x \le 5$
На этом отрезке выражение $x-3$ неотрицательно, и выражение $5-x$ также неотрицательно. Следовательно, $|x-3| = x-3$ и $|5-x| = 5-x$.
Уравнение принимает вид:
$(x-3) + (5-x) = 2$
$x - 3 + 5 - x = 2$
$2 = 2$
Получено верное тождество, которое справедливо для любого значения $x$ из рассматриваемого отрезка. Таким образом, все числа из отрезка $[3, 5]$ являются решениями уравнения.

3. Случай $x > 5$
На этом интервале выражение $x-3$ положительно, а выражение $5-x$ отрицательно. Следовательно, $|x-3| = x-3$ и $|5-x| = -(5-x) = x-5$.
Уравнение принимает вид:
$(x-3) + (x-5) = 2$
$2x - 8 = 2$
$2x = 10$
$x = 5$
Полученное значение $x=5$ не удовлетворяет условию $x > 5$, поэтому в этом интервале решений нет.

Объединяя результаты всех трех случаев, мы приходим к выводу, что решением уравнения является множество всех чисел на отрезке от 3 до 5 включительно.
Ответ: $x \in [3, 5]$.

9.48. Постройте график функции $y = \sqrt[8]{(x+1)^8} + \sqrt{(x-3)^2}$.

Для построения графика функции $y = \sqrt[8]{(x+1)^8} + \sqrt{(x-3)^2}$ необходимо сначала упростить данное выражение.

Мы используем свойство корня четной степени, которое гласит, что для любого действительного числа $a$ и натурального числа $n$ выполняется равенство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.

Применим это свойство к каждому слагаемому в нашей функции.
Для первого слагаемого, $\sqrt[8]{(x+1)^8}$, показатель корня 8 является четным числом, поэтому $\sqrt[8]{(x+1)^8} = |x+1|$.
Для второго слагаемого, $\sqrt{(x-3)^2}$, показатель корня 2 (квадратный корень) также является четным, поэтому $\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$.

Таким образом, исходная функция может быть записана в более простом виде: $y = |x+1| + |x-3|$.

Для построения графика функции, содержащей сумму модулей, необходимо рассмотреть ее поведение на различных промежутках, которые определяются нулями подмодульных выражений. Выражения под модулями обращаются в ноль в точках $x = -1$ и $x = 3$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $[-1; 3)$ и $[3; +\infty)$.

1. На интервале $x < -1$ оба выражения под модулями отрицательны. Следовательно, мы раскрываем модули с противоположным знаком:
$y = -(x+1) - (x-3) = -x - 1 - x + 3 = -2x + 2$.
На этом промежутке график функции представляет собой луч прямой $y = -2x + 2$.

2. На интервале $-1 \le x < 3$ выражение $(x+1)$ неотрицательно, а выражение $(x-3)$ отрицательно. Раскрываем модули соответствующим образом:
$y = (x+1) - (x-3) = x + 1 - x + 3 = 4$.
На этом промежутке функция постоянна, и ее график — это горизонтальный отрезок прямой $y=4$.

3. На интервале $x \ge 3$ оба выражения под модулями неотрицательны. Раскрываем модули, сохраняя знак:
$y = (x+1) + (x-3) = x + 1 + x - 3 = 2x - 2$.
На этом промежутке график функции представляет собой луч прямой $y = 2x - 2$.

Объединив все три части, мы можем построить итоговый график. Он будет состоять из:

• луча $y = -2x + 2$, заканчивающегося в точке $(-1, 4)$ (при $x \to -1$ слева, $y \to -2(-1)+2=4$);
• горизонтального отрезка $y = 4$ между точками $(-1, 4)$ и $(3, 4)$;
• луча $y = 2x - 2$, начинающегося в точке $(3, 4)$ (при $x=3$, $y = 2(3)-2=4$).

График представляет собой ломаную линию, похожую на "корыто" или "ковш".

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из трех частей: луча $y = -2x+2$ для $x \le -1$, горизонтального отрезка $y=4$ для $-1 \le x \le 3$ и луча $y = 2x-2$ для $x \ge 3$. Вершины ломаной находятся в точках $(-1, 4)$ и $(3, 4)$.

9.49. Докажите, что значение выражения является числом рациональным:

1) $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$

2) $\sqrt[3]{6\sqrt{3}+10} - \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}$

1) Обозначим данное выражение через $x$:$x = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$.Чтобы доказать, что $x$ является рациональным числом, возведем обе части этого равенства в куб, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$.$x^3 = (\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})^3$Пусть $a = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}$ и $b = \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$.Тогда:$a^3 = 7+5\sqrt{2}$$b^3 = 7-5\sqrt{2}$$a^3+b^3 = (7+5\sqrt{2}) + (7-5\sqrt{2}) = 14$.Найдем произведение $ab$:$ab = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} = \sqrt[3]{(7+5\sqrt{2})(7-5\sqrt{2})}$.Применим формулу разности квадратов $(c-d)(c+d) = c^2 - d^2$:$ab = \sqrt[3]{7^2 - (5\sqrt{2})^2} = \sqrt[3]{49 - 25 \cdot 2} = \sqrt[3]{49 - 50} = \sqrt[3]{-1} = -1$.Теперь подставим полученные значения в формулу для $x^3$:$x^3 = (a^3+b^3) + 3ab(a+b) = 14 + 3(-1)x$.$x^3 = 14 - 3x$.Мы получили кубическое уравнение:$x^3 + 3x - 14 = 0$.Согласно теореме о рациональных корнях, если это уравнение имеет рациональные корни, то они являются делителями свободного члена (-14). Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$.Проверим корень $x=2$:$2^3 + 3(2) - 14 = 8 + 6 - 14 = 0$.Значит, $x=2$ является корнем уравнения. Чтобы убедиться, что других действительных корней нет, разделим многочлен $x^3 + 3x - 14$ на $(x-2)$:$(x^3 + 3x - 14) : (x-2) = x^2+2x+7$.Уравнение можно записать в виде $(x-2)(x^2+2x+7)=0$.Для квадратного трехчлена $x^2+2x+7$ найдем дискриминант:$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$.Поскольку $D < 0$, уравнение $x^2+2x+7=0$ не имеет действительных корней.Следовательно, единственным действительным корнем кубического уравнения является $x=2$.Так как исходное выражение является действительным числом, его значение равно 2, а 2 — это рациональное число.Ответ: 2.

2) Обозначим данное выражение через $x$:$x = \sqrt[3]{6\sqrt{3}+10} - \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}$.Чтобы доказать, что $x$ является рациональным числом, возведем обе части этого равенства в куб, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3-b^3-3ab(a-b)$.$x^3 = (\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}} - \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10})^3$.Пусть $a = \sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}$ и $b = \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}$.Тогда:$a^3 = 10+6\sqrt{3}$$b^3 = 6\sqrt{3}-10$$a^3-b^3 = (10+6\sqrt{3}) - (6\sqrt{3}-10) = 10 + 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 10 = 20$.Найдем произведение $ab$:$ab = \sqrt[3]{10+6\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}$. Заметим, что $6\sqrt{3}-10 = -(10-6\sqrt{3})$. Это не формула разности квадратов. Перепишем подкоренные выражения: $10+6\sqrt{3}$ и $-(10-6\sqrt{3})$. Упс, в задании $6\sqrt{3}+10$ и $6\sqrt{3}-10$. Тогда $a = \sqrt[3]{6\sqrt{3}+10}$ и $b = \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}$.$a^3 = 6\sqrt{3}+10$$b^3 = 6\sqrt{3}-10$$a^3-b^3 = (6\sqrt{3}+10) - (6\sqrt{3}-10) = 20$.$ab = \sqrt[3]{(6\sqrt{3}+10)(6\sqrt{3}-10)} = \sqrt[3]{(6\sqrt{3})^2 - 10^2} = \sqrt[3]{36 \cdot 3 - 100} = \sqrt[3]{108 - 100} = \sqrt[3]{8} = 2$.Теперь подставим полученные значения в формулу для $x^3$:$x^3 = (a^3-b^3) - 3ab(a-b) = 20 - 3(2)x$.$x^3 = 20 - 6x$.Мы получили кубическое уравнение:$x^3 + 6x - 20 = 0$.Возможные рациональные корни являются делителями свободного члена (-20): $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$.Проверим корень $x=2$:$2^3 + 6(2) - 20 = 8 + 12 - 20 = 0$.Значит, $x=2$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $x^3 + 6x - 20$ на $(x-2)$:$(x^3 + 6x - 20) : (x-2) = x^2+2x+10$.Уравнение можно записать в виде $(x-2)(x^2+2x+10)=0$.Для квадратного трехчлена $x^2+2x+10$ найдем дискриминант:$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36$.Поскольку $D < 0$, уравнение $x^2+2x+10=0$ не имеет действительных корней.Следовательно, единственным действительным корнем кубического уравнения является $x=2$.Так как исходное выражение является действительным числом, его значение равно 2, а 2 — это рациональное число.Ответ: 2.

9.50. Докажите, что $\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20-14\sqrt{2}} = 4$.

Для доказательства данного равенства введем переменную $x$, равную левой части выражения:$x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}$

Наша задача — показать, что $x=4$. Для этого возведем обе части равенства в куб, воспользовавшись формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.В нашем случае, пусть $a = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}$ и $b = \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}$.

Тогда $x^3 = (\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}})^3$.

Найдем по отдельности компоненты формулы: $a^3$, $b^3$ и $ab$.$a^3 = (\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}})^3 = 20 + 14\sqrt{2}$$b^3 = (\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}})^3 = 20 - 14\sqrt{2}$

Сумма $a^3$ и $b^3$ будет равна:$a^3 + b^3 = (20 + 14\sqrt{2}) + (20 - 14\sqrt{2}) = 40$

Теперь вычислим произведение $ab$:$ab = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = \sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})(20 - 14\sqrt{2})}$

Выражение под кубическим корнем является разностью квадратов:$(20 + 14\sqrt{2})(20 - 14\sqrt{2}) = 20^2 - (14\sqrt{2})^2 = 400 - 14^2 \cdot 2 = 400 - 196 \cdot 2 = 400 - 392 = 8$

Следовательно, произведение $ab = \sqrt[3]{8} = 2$.

Теперь подставим все найденные значения обратно в формулу для $x^3$:$x^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$$x^3 = 40 + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}})$

Заметим, что выражение в скобках — это наше исходное обозначение $x$. Таким образом, мы получаем кубическое уравнение относительно $x$:$x^3 = 40 + 6x$$x^3 - 6x - 40 = 0$

Решим это уравнение. Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена $(-40)$, таких как $\pm1, \pm2, \pm4, \pm5, \dots$.Проверим $x=4$:$4^3 - 6(4) - 40 = 64 - 24 - 40 = 40 - 40 = 0$

Так как $x=4$ обращает уравнение в верное равенство, это один из его корней. Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $x^3 - 6x - 40$ на $(x-4)$. В результате деления получаем:$(x-4)(x^2 + 4x + 10) = 0$

Это уравнение имеет решения, если один из множителей равен нулю:1) $x - 4 = 0 \implies x = 4$.2) $x^2 + 4x + 10 = 0$.

Для второго (квадратного) уравнения найдем дискриминант $D$:$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 16 - 40 = -24$

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение $x^2 + 4x + 10 = 0$ не имеет действительных корней.Исходное выражение $x$ является суммой двух действительных чисел, а значит, само является действительным числом. Следовательно, единственным действительным решением кубического уравнения является $x=4$.Таким образом, доказано, что $\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = 4$.

Ответ: Равенство доказано.

9.51. Представьте в виде степени с основанием $a$ выражение:

1) $\frac{(a^3)^6 \cdot a^4}{a^{16}};$

2) $a^5 \cdot a^{-8};$

3) $a^{-5} \cdot a^{10} \cdot a^{-12};$

4) $a^{-3} : a^{-15};$

5) $a^{12} \cdot a^{-20} : a^{-9};$

6) $(a^{-5})^4.$

1) Для упрощения выражения $\frac{(a^3)^6 \cdot a^4}{a^{16}}$ воспользуемся свойствами степеней.

Сначала упростим числитель. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(a^3)^6 = a^{3 \cdot 6} = a^{18}$.

Теперь выражение в числителе выглядит так: $a^{18} \cdot a^4$.

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$a^{18} \cdot a^4 = a^{18+4} = a^{22}$.

Теперь все выражение имеет вид: $\frac{a^{22}}{a^{16}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{a^{22}}{a^{16}} = a^{22-16} = a^6$.

Ответ: $a^6$.

2) Для упрощения выражения $a^5 \cdot a^{-8}$ используем правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Сложим показатели степеней:

$a^5 \cdot a^{-8} = a^{5 + (-8)} = a^{5-8} = a^{-3}$.

Ответ: $a^{-3}$.

3) Для упрощения выражения $a^{-5} \cdot a^{10} \cdot a^{-12}$ используем правило умножения степеней с одинаковым основанием, сложив все показатели:

$a^{-5} \cdot a^{10} \cdot a^{-12} = a^{-5 + 10 + (-12)} = a^{5 - 12} = a^{-7}$.

Ответ: $a^{-7}$.

4) Для упрощения выражения $a^{-3} : a^{-15}$ используем правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Вычтем из показателя делимого показатель делителя:

$a^{-3} : a^{-15} = a^{-3 - (-15)} = a^{-3+15} = a^{12}$.

Ответ: $a^{12}$.

5) Упростим выражение $a^{12} \cdot a^{-20} : a^{-9}$ по действиям слева направо.

Сначала выполним умножение $a^{12} \cdot a^{-20}$. По правилу умножения степеней с одинаковым основанием, складываем показатели:

$a^{12} \cdot a^{-20} = a^{12 + (-20)} = a^{12-20} = a^{-8}$.

Теперь выполним деление $a^{-8} : a^{-9}$. По правилу деления степеней, вычитаем показатели:

$a^{-8} : a^{-9} = a^{-8 - (-9)} = a^{-8+9} = a^1 = a$.

Ответ: $a$.

6) Для упрощения выражения $(a^{-5})^4$ используем правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Перемножим показатели степеней:

$(a^{-5})^4 = a^{-5 \cdot 4} = a^{-20}$.

Ответ: $a^{-20}$.