Номер 9.50, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.50. Докажите, что $\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20-14\sqrt{2}} = 4$.

Для доказательства данного равенства введем переменную $x$, равную левой части выражения:$x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}$

Наша задача — показать, что $x=4$. Для этого возведем обе части равенства в куб, воспользовавшись формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.В нашем случае, пусть $a = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}$ и $b = \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}$.

Тогда $x^3 = (\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}})^3$.

Найдем по отдельности компоненты формулы: $a^3$, $b^3$ и $ab$.$a^3 = (\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}})^3 = 20 + 14\sqrt{2}$$b^3 = (\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}})^3 = 20 - 14\sqrt{2}$

Сумма $a^3$ и $b^3$ будет равна:$a^3 + b^3 = (20 + 14\sqrt{2}) + (20 - 14\sqrt{2}) = 40$

Теперь вычислим произведение $ab$:$ab = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = \sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})(20 - 14\sqrt{2})}$

Выражение под кубическим корнем является разностью квадратов:$(20 + 14\sqrt{2})(20 - 14\sqrt{2}) = 20^2 - (14\sqrt{2})^2 = 400 - 14^2 \cdot 2 = 400 - 196 \cdot 2 = 400 - 392 = 8$

Следовательно, произведение $ab = \sqrt[3]{8} = 2$.

Теперь подставим все найденные значения обратно в формулу для $x^3$:$x^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$$x^3 = 40 + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}})$

Заметим, что выражение в скобках — это наше исходное обозначение $x$. Таким образом, мы получаем кубическое уравнение относительно $x$:$x^3 = 40 + 6x$$x^3 - 6x - 40 = 0$

Решим это уравнение. Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена $(-40)$, таких как $\pm1, \pm2, \pm4, \pm5, \dots$.Проверим $x=4$:$4^3 - 6(4) - 40 = 64 - 24 - 40 = 40 - 40 = 0$

Так как $x=4$ обращает уравнение в верное равенство, это один из его корней. Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $x^3 - 6x - 40$ на $(x-4)$. В результате деления получаем:$(x-4)(x^2 + 4x + 10) = 0$

Это уравнение имеет решения, если один из множителей равен нулю:1) $x - 4 = 0 \implies x = 4$.2) $x^2 + 4x + 10 = 0$.

Для второго (квадратного) уравнения найдем дискриминант $D$:$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 16 - 40 = -24$

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение $x^2 + 4x + 10 = 0$ не имеет действительных корней.Исходное выражение $x$ является суммой двух действительных чисел, а значит, само является действительным числом. Следовательно, единственным действительным решением кубического уравнения является $x=4$.Таким образом, доказано, что $\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = 4$.

Ответ: Равенство доказано.