Номер 9.52, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.52. Найдите значение выражения:

1) $2^{-9} \cdot 2^{-12} : 2^{-22};$

2) $3^{-3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-3};$

3) $\frac{14^{-5}}{7^{-5}};$

4) $9^{-4} \cdot 27^{2};$

5) $\left(2\frac{7}{9}\right)^{-7} \cdot \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-3}\right)^{5};$

6) $\frac{22^{6} \cdot 2^{-8}}{44^{-3} \cdot 11^{9}}.$

1) При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а при делении вычитаются.
$2^{-9} \cdot 2^{-12} : 2^{-22} = 2^{-9 + (-12)} : 2^{-22} = 2^{-21} : 2^{-22} = 2^{-21 - (-22)} = 2^{-21 + 22} = 2^1 = 2$.
Ответ: 2

2) Используем свойство степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.
$3^{-3} \cdot (\frac{2}{3})^{-3} = (3 \cdot \frac{2}{3})^{-3} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

3) Используем свойство степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.
$\frac{14^{-5}}{7^{-5}} = (\frac{14}{7})^{-5} = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.
Ответ: $\frac{1}{32}$

4) Приведем основания степеней к общему основанию 3, так как $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.
$9^{-4} \cdot 27^2 = (3^2)^{-4} \cdot (3^3)^2 = 3^{2 \cdot (-4)} \cdot 3^{3 \cdot 2} = 3^{-8} \cdot 3^6 = 3^{-8+6} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$

5) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь и применим свойства степеней.
$2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{25}{9}$.
$(2\frac{7}{9})^{-7} \cdot ((\frac{3}{5})^{-3})^5 = (\frac{25}{9})^{-7} \cdot (\frac{3}{5})^{-3 \cdot 5} = (\frac{25}{9})^{-7} \cdot (\frac{3}{5})^{-15}$.
Приведем к общему основанию $\frac{5}{3}$: $\frac{25}{9} = (\frac{5}{3})^2$ и $\frac{3}{5} = (\frac{5}{3})^{-1}$.
$((\frac{5}{3})^2)^{-7} \cdot ((\frac{5}{3})^{-1})^{-15} = (\frac{5}{3})^{2 \cdot (-7)} \cdot (\frac{5}{3})^{(-1) \cdot (-15)} = (\frac{5}{3})^{-14} \cdot (\frac{5}{3})^{15} = (\frac{5}{3})^{-14+15} = (\frac{5}{3})^1 = \frac{5}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{3}$

6) Разложим основания 22 и 44 на простые множители: $22 = 2 \cdot 11$, $44 = 4 \cdot 11 = 2^2 \cdot 11$.
$\frac{22^6 \cdot 2^{-8}}{44^{-3} \cdot 11^9} = \frac{(2 \cdot 11)^6 \cdot 2^{-8}}{(2^2 \cdot 11)^{-3} \cdot 11^9} = \frac{2^6 \cdot 11^6 \cdot 2^{-8}}{2^{-6} \cdot 11^{-3} \cdot 11^9}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{2^{6-8} \cdot 11^6}{2^{-6} \cdot 11^{-3+9}} = \frac{2^{-2} \cdot 11^6}{2^{-6} \cdot 11^6} = 2^{-2 - (-6)} \cdot 11^{6-6} = 2^{-2+6} \cdot 11^0 = 2^4 \cdot 1 = 16$.
Ответ: 16