Номер 9.45, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.45. Упростите выражение:

1) $(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1} - \frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1}$

2) $(\frac{\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[6]{x}-1} - \frac{4\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x}-1}) \cdot \frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x}-1}$

3) $(\frac{\sqrt[4]{a^3}-\sqrt[4]{b^3}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}) (\sqrt[4]{\frac{a}{b}}+1)$

4) $\frac{\sqrt{a}+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}} \cdot (\frac{\sqrt[6]{a}-3}{\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9} - \frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt{a}+27})$

1) $(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1} - \frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1}$

Для упрощения введем замену: пусть $x = \sqrt[4]{a}$. Тогда $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2 = x^2$.

Выражение примет вид: $(\frac{1}{x-1} - \frac{x+1}{x^2}) : \frac{x^2}{x^2-2x+1}$.

Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $x^2(x-1)$:$\frac{1}{x-1} - \frac{x+1}{x^2} = \frac{1 \cdot x^2 - (x+1)(x-1)}{x^2(x-1)} = \frac{x^2 - (x^2-1)}{x^2(x-1)} = \frac{x^2 - x^2 + 1}{x^2(x-1)} = \frac{1}{x^2(x-1)}$.

Теперь упростим делитель, используя формулу квадрата разности:$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1} = \frac{x^2}{(\sqrt[4]{a})^2-2\sqrt[4]{a}+1} = \frac{x^2}{(\sqrt[4]{a}-1)^2} = \frac{x^2}{(x-1)^2}$.

Выполним деление (заменим деление на умножение на обратную дробь):$\frac{1}{x^2(x-1)} : \frac{x^2}{(x-1)^2} = \frac{1}{x^2(x-1)} \cdot \frac{(x-1)^2}{x^2} = \frac{x-1}{x^4}$.

Сделаем обратную замену $x = \sqrt[4]{a}$:$\frac{\sqrt[4]{a}-1}{(\sqrt[4]{a})^4} = \frac{\sqrt[4]{a}-1}{a}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{a}-1}{a}$.

2) $(\frac{\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[6]{x}-1} - \frac{4\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x}-1}) \cdot \frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x}-1}$

Для упрощения введем замену: пусть $y = \sqrt[6]{x}$. Тогда $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = y^2$.

Выражение примет вид: $(\frac{y+1}{y-1} - \frac{4y}{y^2-1}) \cdot \frac{y^2+y}{y-1}$.

Упростим выражение в скобках, используя формулу разности квадратов $y^2-1 = (y-1)(y+1)$ для приведения к общему знаменателю:$\frac{y+1}{y-1} - \frac{4y}{(y-1)(y+1)} = \frac{(y+1)^2 - 4y}{(y-1)(y+1)} = \frac{y^2+2y+1-4y}{y^2-1} = \frac{y^2-2y+1}{y^2-1} = \frac{(y-1)^2}{(y-1)(y+1)} = \frac{y-1}{y+1}$.

Упростим второй множитель, вынеся общий множитель за скобки:$\frac{y^2+y}{y-1} = \frac{y(y+1)}{y-1}$.

Выполним умножение полученных выражений:$\frac{y-1}{y+1} \cdot \frac{y(y+1)}{y-1} = y$.

Сделаем обратную замену $y = \sqrt[6]{x}$.

Ответ: $\sqrt[6]{x}$.

3) $(\frac{\sqrt[4]{a^3}-\sqrt[4]{b^3}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{\frac{a}{b}}+1)$

Введем замену: пусть $x = \sqrt[4]{a}$ и $y = \sqrt[4]{b}$. Тогда $\sqrt{a} = x^2$, $\sqrt{b} = y^2$, $\sqrt[4]{a^3} = x^3$, $\sqrt[4]{b^3} = y^3$.

Выражение примет вид: $(\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2} - x - y)(\frac{x}{y}+1)$.

Упростим выражение в первых скобках. Сначала преобразуем дробь, используя формулы разности кубов и разности квадратов:$\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2+xy+y^2}{x+y}$.

Теперь выполним вычитание:$\frac{x^2+xy+y^2}{x+y} - (x+y) = \frac{x^2+xy+y^2 - (x+y)^2}{x+y} = \frac{x^2+xy+y^2 - (x^2+2xy+y^2)}{x+y} = \frac{-xy}{x+y}$.

Упростим выражение во вторых скобках:$\frac{x}{y}+1 = \frac{x+y}{y}$.

Выполним умножение:$\frac{-xy}{x+y} \cdot \frac{x+y}{y} = -x$.

Сделаем обратную замену $x = \sqrt[4]{a}$.

Ответ: $-\sqrt[4]{a}$.

4) $\frac{\sqrt{a}+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}} \cdot (\frac{\sqrt[6]{a}-3}{\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9} - \frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt{a}+27})$

Введем замену: пусть $x = \sqrt[6]{a}$ и $y = \sqrt[6]{b}$. Тогда $\sqrt[3]{a} = x^2$, $\sqrt{a} = x^3$, и $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{a}\sqrt[6]{b} = xy$.

Выражение примет вид: $\frac{x^3+27}{x-y} \cdot (\frac{x-3}{x^2-3x+9} - \frac{xy-9}{x^3+27})$.

Упростим выражение в скобках. Заметим, что знаменатели связаны формулой суммы кубов: $x^3+27 = x^3+3^3 = (x+3)(x^2-3x+9)$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $x^3+27$:$\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x^2-3x+9)} - \frac{xy-9}{x^3+27} = \frac{x^2-9}{x^3+27} - \frac{xy-9}{x^3+27}$.

Выполним вычитание дробей:$\frac{(x^2-9) - (xy-9)}{x^3+27} = \frac{x^2-9-xy+9}{x^3+27} = \frac{x^2-xy}{x^3+27} = \frac{x(x-y)}{x^3+27}$.

Теперь умножим результат на первый множитель:$\frac{x^3+27}{x-y} \cdot \frac{x(x-y)}{x^3+27}$.

Сократим одинаковые множители $(x^3+27)$ и $(x-y)$ в числителе и знаменателе. В результате останется $x$.

Сделаем обратную замену $x = \sqrt[6]{a}$.

Ответ: $\sqrt[6]{a}$.