Номер 9.38, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.38. При каких значениях $a$ и $b$ верно равенство:

1) $\sqrt[4]{a^5 b^5} = ab\sqrt[4]{ab};$

2) $\sqrt[4]{a^4 b} = a\sqrt[4]{b};$

3) $\sqrt[4]{a^4 b} = -a\sqrt[4]{b}?$

1) $\sqrt[4]{a^5b^5} = ab\sqrt[4]{ab}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $a^5b^5 \ge 0$. Это неравенство эквивалентно $(ab)^5 \ge 0$, что, в свою очередь, равносильно $ab \ge 0$. Это означает, что переменные $a$ и $b$ должны быть одного знака, либо хотя бы одна из них равна нулю.
Теперь преобразуем левую часть равенства. Используем свойство вынесения множителя из-под знака корня: $\sqrt[n]{x \cdot y} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$ (для неотрицательных $x, y$) и свойство корня четной степени $\sqrt[2k]{z^{2k}}=|z|$.
$\sqrt[4]{a^5b^5} = \sqrt[4]{(a^4b^4)(ab)} = \sqrt[4]{(ab)^4}\sqrt[4]{ab} = |ab|\sqrt[4]{ab}$.
Подставим это выражение в исходное равенство:
$|ab|\sqrt[4]{ab} = ab\sqrt[4]{ab}$.
Это равенство будет верным в двух случаях:
1. Если множитель $\sqrt[4]{ab}$ равен нулю, то есть $ab=0$. В этом случае равенство принимает вид $0=0$, что является истиной. Таким образом, все пары $(a, b)$, где $a=0$ или $b=0$, являются решением.
2. Если $\sqrt[4]{ab} > 0$, то есть $ab > 0$, мы можем разделить обе части равенства на $\sqrt[4]{ab}$ и получить: $|ab| = ab$.
По определению модуля, это равенство верно тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно: $ab \ge 0$. Так как мы рассматриваем случай $ab > 0$, это условие выполняется.
Объединяя оба случая ($ab=0$ и $ab>0$), мы приходим к выводу, что исходное равенство верно при условии $ab \ge 0$.
Ответ: $a \ge 0$ и $b \ge 0$, или $a \le 0$ и $b \le 0$.

2) $\sqrt[4]{a^4b} = a\sqrt[4]{b}$

ОДЗ: подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Из $\sqrt[4]{a^4b}$ следует $a^4b \ge 0$. Поскольку $a^4 \ge 0$ для любого действительного $a$, это неравенство сводится к $b \ge 0$. Из $\sqrt[4]{b}$ на правой стороне также следует $b \ge 0$. Итак, ОДЗ: $b \ge 0$.
Преобразуем левую часть равенства, используя свойство $\sqrt[4]{x^4}=|x|$:
$\sqrt[4]{a^4b} = \sqrt[4]{a^4}\sqrt[4]{b} = |a|\sqrt[4]{b}$.
Теперь исходное равенство можно переписать в виде:
$|a|\sqrt[4]{b} = a\sqrt[4]{b}$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $b=0$, то $\sqrt[4]{b}=0$. Равенство становится $|a| \cdot 0 = a \cdot 0$, или $0=0$. Это верно для любого значения $a$.
2. Если $b > 0$, то $\sqrt[4]{b} \ne 0$. Мы можем разделить обе части равенства на $\sqrt[4]{b}$:
$|a| = a$.
Это равенство по определению модуля верно тогда и только тогда, когда $a \ge 0$.
Объединяя результаты: равенство верно, если ($b=0$ и $a$ - любое) или ($b>0$ и $a \ge 0$). Эти два условия можно объединить в одно: $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
Ответ: $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

3) $\sqrt[4]{a^4b} = -a\sqrt[4]{b}$

ОДЗ такое же, как и в предыдущем пункте: $b \ge 0$.
Преобразование левой части также аналогично:
$\sqrt[4]{a^4b} = \sqrt[4]{a^4}\sqrt[4]{b} = |a|\sqrt[4]{b}$.
Подставим это в исходное равенство:
$|a|\sqrt[4]{b} = -a\sqrt[4]{b}$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $b=0$, то $\sqrt[4]{b}=0$. Равенство становится $|a| \cdot 0 = -a \cdot 0$, или $0=0$. Это верно для любого значения $a$.
2. Если $b > 0$, то $\sqrt[4]{b} \ne 0$. Мы можем разделить обе части равенства на $\sqrt[4]{b}$:
$|a| = -a$.
По определению модуля, это равенство верно тогда и только тогда, когда $a \le 0$.
Объединяя результаты: равенство верно, если ($b=0$ и $a$ - любое) или ($b>0$ и $a \le 0$). Эти два условия можно объединить в одно: $a \le 0$ и $b \ge 0$.
Ответ: $a \le 0$ и $b \ge 0$.