Номер 9.34, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.34. Постройте график функции:

1) $y = 2x + \sqrt[6]{x^6}$;

2) $y = \sqrt[8]{(x-2)^8}$;

3) $y = \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^3}$;

4) $y = \sqrt[4]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2}$;

5) $y = \frac{x^3}{\sqrt[6]{x^6}} + 2$;

6) $y = \sqrt[6]{x^3} \cdot \sqrt[6]{x^9}$.

1)

Дана функция $y = 2x + \sqrt[6]{x^6}$.

Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как подкоренное выражение $x^6$ всегда неотрицательно.

Упростим выражение $\sqrt[6]{x^6}$. По свойству корня четной степени, $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае $n=3$, поэтому $\sqrt[6]{x^6} = |x|$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = 2x + |x|$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = 2x + x = 3x$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = 2x - x = x$.

Следовательно, искомый график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат:

• луча $y = 3x$ для $x \ge 0$;
• луча $y = x$ для $x < 0$.

Для построения первого луча возьмем точки $(0, 0)$ и $(1, 3)$. Для построения второго луча возьмем точки $(0, 0)$ и $(-2, -2)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: луча $y=x$ при $x<0$ и луча $y=3x$ при $x \ge 0$.

2)

Дана функция $y = \sqrt[8]{(x-2)^8}$.

Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как подкоренное выражение $(x-2)^8$ всегда неотрицательно.

По свойству корня четной степени, $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае показатель степени и корня равен 8 (четное число), поэтому $\sqrt[8]{(x-2)^8} = |x-2|$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = |x-2|$.

График этой функции получается из графика функции $y = |x|$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс. График представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(2, 0)$.

Раскроем модуль:

1. Если $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$, то $y = x-2$.

2. Если $x-2 < 0$, то есть $x < 2$, то $y = -(x-2) = -x+2$.

График состоит из двух лучей, выходящих из точки $(2, 0)$.

Ответ: График функции является графиком функции $y = |x|$, сдвинутым на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс. Он состоит из двух лучей, выходящих из точки $(2, 0)$: луча $y = x-2$ при $x \ge 2$ и луча $y = -x+2$ при $x < 2$.

3)

Дана функция $y = \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^3}$.

Найдем область определения функции. Для существования корня четной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным.$\sqrt[4]{x} \implies x \ge 0$.$\sqrt[4]{x^3} \implies x^3 \ge 0 \implies x \ge 0$.Следовательно, область определения функции: $x \ge 0$.

Упростим выражение, используя свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$y = \sqrt[4]{x \cdot x^3} = \sqrt[4]{x^4}$.

Поскольку из области определения мы знаем, что $x \ge 0$, то $\sqrt[4]{x^4} = x$.

Итак, $y=x$ при $x \ge 0$.

Графиком данной функции является луч, выходящий из начала координат, который является биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: Графиком функции является луч $y=x$ при $x \ge 0$.

4)

Дана функция $y = \sqrt[4]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2}$.

Найдем область определения функции. Выражение $x^2$ неотрицательно при любом действительном значении $x$. Таким образом, область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Упростим выражение:

$y = \sqrt[4]{x^2 \cdot x^2} = \sqrt[4]{x^4}$.

Поскольку функция определена для всех $x$, мы должны использовать свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.

Следовательно, $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.

Итак, $y=|x|$.

График этой функции состоит из двух лучей, выходящих из начала координат:

• $y = x$ при $x \ge 0$;
• $y = -x$ при $x < 0$.

Ответ: Графиком функции является график $y = |x|$, состоящий из двух лучей, выходящих из начала координат и являющихся биссектрисами I и II координатных углов.

5)

Дана функция $y = \frac{x^3}{\sqrt[6]{x^6}} + 2$.

Найдем область определения. Знаменатель не может быть равен нулю. $\sqrt[6]{x^6}=|x|$. Значит, $|x| \neq 0$, что эквивалентно $x \neq 0$.

Упростим выражение функции: $y = \frac{x^3}{|x|} + 2$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = \frac{x^3}{x} + 2 = x^2 + 2$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = \frac{x^3}{-x} + 2 = -x^2 + 2$.

График функции состоит из двух частей:

• Для $x > 0$ — это часть параболы $y = x^2+2$. Это парабола $y=x^2$, смещенная на 2 единицы вверх. Мы берем ее правую ветвь.
• Для $x < 0$ — это часть параболы $y = -x^2+2$. Это парабола $y=-x^2$, смещенная на 2 единицы вверх. Мы берем ее левую ветвь.

Так как $x \neq 0$, точка с абсциссой $x=0$ не принадлежит графику. Предельное значение функции при $x \to 0$ равно 2, поэтому точка $(0, 2)$ является "выколотой".

Ответ: График функции состоит из двух частей: для $x > 0$ это правая ветвь параболы $y = x^2+2$, а для $x < 0$ это левая ветвь параболы $y = -x^2+2$. Точка $(0, 2)$ на графике выколота.

6)

Дана функция $y = \sqrt[6]{x^3} \cdot \sqrt[6]{x^9}$.

Найдем область определения. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны:

$x^3 \ge 0 \implies x \ge 0$.

$x^9 \ge 0 \implies x \ge 0$.

Следовательно, область определения: $x \ge 0$.

Упростим выражение, используя свойство произведения корней:

$y = \sqrt[6]{x^3 \cdot x^9} = \sqrt[6]{x^{12}}$.

Можно представить $x^{12}$ как $(x^2)^6$:

$y = \sqrt[6]{(x^2)^6}$.

Так как $x^2$ всегда неотрицательно, $\sqrt[6]{(x^2)^6} = x^2$.

Учитывая область определения ($x \ge 0$), мы получаем функцию $y=x^2$ для $x \ge 0$.

Графиком данной функции является правая ветвь параболы $y=x^2$, начинающаяся в точке $(0, 0)$.

Ответ: Графиком функции является часть параболы $y=x^2$ при $x \ge 0$.