Номер 9.40, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.40. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{32a^6}$, если $a \le 0$;

2) $\sqrt[4]{-625a^5}$;

3) $\sqrt[6]{a^7b^7}$, если $a < 0, b < 0$;

4) $\sqrt[6]{a^{20}b^{19}}$, если $a > 0$.

1) Для выражения $\sqrt[4]{32a^6}$ при условии $a \le 0$:

Сначала разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы выделить множители, являющиеся четвертой степенью какого-либо выражения. Число 32 можно представить как $16 \cdot 2 = 2^4 \cdot 2$. Переменную $a^6$ можно представить как $a^4 \cdot a^2$.

Тогда исходное выражение примет вид:

$\sqrt[4]{32a^6} = \sqrt[4]{16 \cdot 2 \cdot a^4 \cdot a^2} = \sqrt[4]{(16a^4) \cdot (2a^2)}$

Используя свойство корня $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$, получаем:

$\sqrt[4]{16a^4} \cdot \sqrt[4]{2a^2} = \sqrt[4]{(2a)^4} \cdot \sqrt[4]{2a^2}$

Поскольку корень четной степени ($n=4$), то $\sqrt[n]{x^n} = |x|$. Следовательно:

$\sqrt[4]{(2a)^4} = |2a|$

По условию $a \le 0$, значит, выражение $2a$ также не положительно ($2a \le 0$). По определению модуля, если выражение под ним не положительно, то $|x| = -x$. Поэтому:

$|2a| = -2a$

Собираем все части вместе:

$-2a \sqrt[4]{2a^2}$

Ответ: $-2a\sqrt[4]{2a^2}$

2) Для выражения $\sqrt[4]{-625a^5}$:

Корень четной степени (в данном случае четвертой) определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Значит, должно выполняться условие $-625a^5 \ge 0$.

Так как $-625 < 0$, неравенство будет верным, только если $a^5 \le 0$, что равносильно условию $a \le 0$. Это является областью определения данного выражения.

Разложим подкоренное выражение на множители:

$-625a^5 = 625 \cdot (-a) \cdot a^4 = 5^4 \cdot a^4 \cdot (-a)$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt[4]{-625a^5} = \sqrt[4]{5^4 \cdot a^4 \cdot (-a)} = \sqrt[4]{5^4} \cdot \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{-a}$

Извлекаем корни из множителей:

$\sqrt[4]{5^4} = 5$

$\sqrt[4]{a^4} = |a|$

Так как из области определения мы знаем, что $a \le 0$, то $|a| = -a$.

Подставляем полученные значения в выражение:

$5 \cdot |a| \cdot \sqrt[4]{-a} = 5 \cdot (-a) \cdot \sqrt[4]{-a} = -5a\sqrt[4]{-a}$

Заметим, что под знаком корня осталось выражение $-a$, которое неотрицательно, так как $a \le 0$.

Ответ: $-5a\sqrt[4]{-a}$

3) Для выражения $\sqrt[6]{a^7b^7}$ при условии $a < 0, b < 0$:

Подкоренное выражение $a^7b^7$ можно записать как $(ab)^7$. Так как корень четной степени (шестой), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $(ab)^7 \ge 0$.

По условию $a < 0$ и $b < 0$, значит, их произведение $ab$ положительно ($ab > 0$). Следовательно, $(ab)^7$ также будет положительным, и выражение определено.

Разложим подкоренное выражение на множители, чтобы выделить шестую степень:

$a^7b^7 = (ab)^7 = (ab)^6 \cdot (ab)$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[6]{a^7b^7} = \sqrt[6]{(ab)^6 \cdot ab} = \sqrt[6]{(ab)^6} \cdot \sqrt[6]{ab}$

По свойству корня четной степени $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$:

$\sqrt[6]{(ab)^6} = |ab|$

Поскольку $a < 0$ и $b < 0$, их произведение $ab > 0$. Значит, $|ab| = ab$.

Таким образом, окончательный результат:

$ab\sqrt[6]{ab}$

Ответ: $ab\sqrt[6]{ab}$

4) Для выражения $\sqrt[6]{a^{20}b^{19}}$ при условии $a > 0$:

Так как корень четной степени, подкоренное выражение $a^{20}b^{19}$ должно быть неотрицательным. По условию $a > 0$, поэтому $a^{20} > 0$. Чтобы произведение было неотрицательным, необходимо, чтобы $b^{19} \ge 0$, что означает $b \ge 0$.

Разложим показатели степеней под корнем на слагаемые, одно из которых делится на 6:

$a^{20} = a^{18} \cdot a^2 = (a^3)^6 \cdot a^2$

$b^{19} = b^{18} \cdot b = (b^3)^6 \cdot b$

Перепишем выражение под корнем:

$a^{20}b^{19} = (a^{18}b^{18}) \cdot (a^2b) = (a^3b^3)^6 \cdot a^2b$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[6]{a^{20}b^{19}} = \sqrt[6]{(a^3b^3)^6 \cdot a^2b} = \sqrt[6]{(a^3b^3)^6} \cdot \sqrt[6]{a^2b}$

Используем свойство $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$:

$\sqrt[6]{(a^3b^3)^6} = |a^3b^3|$

Учитывая условия $a > 0$ и $b \ge 0$, имеем $a^3 > 0$ и $b^3 \ge 0$. Следовательно, их произведение $a^3b^3 \ge 0$. Тогда $|a^3b^3| = a^3b^3$.

Окончательное выражение:

$a^3b^3\sqrt[6]{a^2b}$

Ответ: $a^3b^3\sqrt[6]{a^2b}$