Номер 9.43, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.43. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{\sqrt{10} - 3} \cdot \sqrt[6]{19 + 6\sqrt{10}}$

2) $\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6 - 4\sqrt{2}}$

1) Найдем значение выражения $ \sqrt[3]{\sqrt{10}-3} \cdot \sqrt[6]{19+6\sqrt{10}} $.

Чтобы перемножить корни с разными показателями, приведем их к общему показателю. Общий показатель для 3 и 6 равен 6. Для этого возведем подкоренное выражение первого множителя в квадрат, а показатель корня умножим на 2:

$ \sqrt[3]{\sqrt{10}-3} = \sqrt[3 \cdot 2]{(\sqrt{10}-3)^2} = \sqrt[6]{(\sqrt{10}-3)^2} $.

Раскроем скобки под знаком корня, используя формулу квадрата разности $ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $:

$ (\sqrt{10}-3)^2 = (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 3 + 3^2 = 10 - 6\sqrt{10} + 9 = 19 - 6\sqrt{10} $.

Теперь исходное выражение можно записать в виде произведения корней с одинаковым показателем:

$ \sqrt[6]{19 - 6\sqrt{10}} \cdot \sqrt[6]{19 + 6\sqrt{10}} $.

Используя свойство $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} $, объединим множители под одним корнем:

$ \sqrt[6]{(19 - 6\sqrt{10})(19 + 6\sqrt{10})} $.

Выражение в скобках представляет собой произведение разности и суммы двух выражений, которое равно разности их квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $:

$ (19 - 6\sqrt{10})(19 + 6\sqrt{10}) = 19^2 - (6\sqrt{10})^2 = 361 - (36 \cdot 10) = 361 - 360 = 1 $.

Таким образом, значение всего выражения равно:

$ \sqrt[6]{1} = 1 $.

Ответ: 1.

2) Найдем значение выражения $ \sqrt{4+2\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6-4\sqrt{2}} $.

Приведем корни к общему показателю 4. Для этого возведем подкоренное выражение первого множителя в квадрат, а показатель корня (который по умолчанию равен 2) умножим на 2:

$ \sqrt{4+2\sqrt{2}} = \sqrt[2 \cdot 2]{(4+2\sqrt{2})^2} = \sqrt[4]{(4+2\sqrt{2})^2} $.

Раскроем скобки под корнем, используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $:

$ (4+2\sqrt{2})^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = 16 + 16\sqrt{2} + (4 \cdot 2) = 16 + 16\sqrt{2} + 8 = 24 + 16\sqrt{2} $.

Теперь исходное выражение можно записать так:

$ \sqrt[4]{24 + 16\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6 - 4\sqrt{2}} $.

Объединим множители под одним корнем четвертой степени:

$ \sqrt[4]{(24 + 16\sqrt{2})(6 - 4\sqrt{2})} $.

Вычислим произведение в подкоренном выражении:

$ (24 + 16\sqrt{2})(6 - 4\sqrt{2}) = 24 \cdot 6 - 24 \cdot 4\sqrt{2} + 16\sqrt{2} \cdot 6 - 16\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} $

$ = 144 - 96\sqrt{2} + 96\sqrt{2} - 64 \cdot (\sqrt{2})^2 = 144 - 64 \cdot 2 = 144 - 128 = 16 $.

Таким образом, мы получаем:

$ \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2 $.

Ответ: 2.